Dada a função
, calcule os seguintes limites:
ponto)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{6x^{3} - 18x^{2}}{9x - x^{3}} $ e precisa calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 3, ou seja, $ \lim_{x \rightarrow 3} f(x) $. Para isso, vamos usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor $ x = 3 $ diretamente na função para ver qual é o resultado:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então, ao substituir $ x = 3 $, obtemos $ \frac{0}{0} $, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. Começando pelo numerador:
Agora, o denominador:
Então, a função fica:
Passo 4
Observe que $ (3 - x) $ é o mesmo que $ -(x - 3) $. Vamos reescrever o denominador assim:
Agora, substituindo de volta na função:
Passo 5
Agora, podemos simplificar os termos $ (x - 3) $ que estão no numerador e no denominador, e também o $ x $:
Simplificando ainda mais:
Passo 6
Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo $ x = 3 $:
Resposta
O limite $ \lim_{x \rightarrow 3} f(x) $ é igual a -3.