Dada a função f(x)=6 x^3-18 x^29 x-x^3, calcule os seguintes limites:
(1,0 ponto) lim x 3 f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{6x^{3} - 18x^{2}}{9x - x^{3}} $ e precisa calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 3, ou seja, $ \lim_{x \rightarrow 3} f(x) $. Para isso, vamos usar conceitos de limites e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor $ x = 3 $ diretamente na função para ver qual é o resultado:
x = 3
Calculando o numerador:
f(3) = 6(3)^3 - 18(3)^29(3) - (3)^3
E o denominador:
6(27) - 18(9) = 162 - 162 = 0
Então, ao substituir $ x = 3 $, obtemos $ \frac{0}{0} $, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. Começando pelo numerador:
6x^3 - 18x^2 = 6x^2(x - 3)
Agora, o denominador:
9x - x^3 = x(9 - x^2) = x(3 - x)(3 + x)
Então, a função fica:
f(x) = 6x^2(x - 3)x(3 - x)(3 + x)

Passo 4

Observe que $ (3 - x) $ é o mesmo que $ -(x - 3) $. Vamos reescrever o denominador assim:
(3 - x)
Agora, substituindo de volta na função:
-(x - 3)

Passo 5

Agora, podemos simplificar os termos $ (x - 3) $ que estão no numerador e no denominador, e também o $ x $:
(x - 3)
Simplificando ainda mais:
x

Passo 6

Agora, com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo $ x = 3 $:
x = 3

Resposta

O limite $ \lim_{x \rightarrow 3} f(x) $ é igual a -3.

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