Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
(d) sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Esse exercício pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)!
O conteúdo aqui é análise de séries de potências e vamos usar o teste da razão para decidir para quais valores de x a série converge.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, identificamos o termo geral
an = (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
O teste da razão diz que a série converge se
L = limntoinfty |an+1an| < 1
Vamos então calcular esse limite.

Passo 3

Calculando a razão entre termos consecutivos, temos:
|an+1an| = |(-1)^n+1 x^2(n+1)+1/(2(n+1)+1)!(-1)^n x^2n+1/(2n+1)!| = |x|^2(n+1)+1 - (2n+1)(2n+3)(2n+2) = x^2(2n+2)(2n+3)

Passo 4

Observando que
(2n+2)(2n+3) to infty quando ntoinfty,
segue que
L = limntoinfty x^2(2n+2)(2n+3) = 0
Como 0 < 1 para todo xinR, a série converge para qualquer valor de x.

Resposta

Raio de convergência: R = infty. Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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