a. (1,5 ponto) Calcule, usando a definição, a derivada da função h(u)=raiz4 u+1 no ponto u=2.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar a derivada de h(u)= raiz4u+1 no ponto u=2 usando a definição de derivada. O conteúdo é derivada pela definição (quociente incremental) e vamos precisar racionalizar a expressão para calcular o limite.

Passo 2

A definição de derivada no ponto u=2 é dada por
h'(2)=limuto 2h(u)-h(2)u-2
Primeiro calculamos h(2):
h(2)=raiz4cdot2+1=raiz9=3
Então
h'(2)=limuto 2raiz4u+1-3u-2

Passo 3

Para resolver esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de raiz4u+1-3:
raiz4u+1-3u-2cdotraiz4u+1+3raiz4u+1+3=(4u+1)-9(u-2)(raiz4u+1+3)=4u-8(u-2)(raiz4u+1+3)
Note que 4u–8=4(u–2).

Passo 4

Agora podemos cancelar u-2:
4(u-2)(u-2)(raiz4u+1+3)=4raiz4u+1+3
Por fim, aplicamos o limite u→2:
h'(2)=limuto24raiz4u+1+3=4raiz9+3=43+3=46=23

Resposta

tfrac23

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