Encontre a série de Taylor de f(x) centrada no valor dado de a. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Rn(x) 0.] Também encontre o raio de convergência associado.
f(x)=x^6-x^4+2, a=-2

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=x6−x4+2 centrada em a=−2. O conteúdo é série de Taylor em torno de um ponto e precisamos expressar f como soma de potências de (x−a), encontrando os coeficientes. Como f é polinomial, uma forma prática é reescrever x em termos de h=x−a e expandir o polinômio.

Passo 2

Definimos h=x−(−2)=x+2. Logo x=h−2 e podemos reescrever
f(x)=(h−2)^6−(h−2)^4+2
Isso nos dá uma expressão em potências de h.

Passo 3

Aplicamos o teorema binomial para expandir (h−2)^6 e (h−2)^4:
(h−2)^6= sumk=0^6binom6kh^k(−2)^6−k = h^6−12h^5+60h^4−160h^3+240h^2−192h+64,
(h−2)^4= sumk=0^4binom4kh^k(−2)^4−k = h^4−8h^3+24h^2−32h+16

Passo 4

Subtraindo as expansões e somando 2, temos
f(x)=(h−2)^6−(h−2)^4+2 =l(h^6−12h^5+60h^4−160h^3+240h^2−192h+64r) −l(h^4−8h^3+24h^2−32h+16r)+2
Agora organizamos termos semelhantes em potências de h.

Passo 5

Coletando os termos, chegamos à série de Taylor em h:
f(x)=50−160h+216h^2−152h^3+59h^4−12h^5+h^6,
onde h=x+2. Assim,
f(x)=50−160(x+2)+216(x+2)^2−152(x+2)^3+59(x+2)^4−12(x+2)^5+(x+2)^6

Passo 6

Como f é polinomial, sua série de Taylor coincide com o próprio polinômio e converge para todo x. Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

[\n f(x) = 50 - 160(x+2) + 216(x+2)^2 - 152(x+2)^3 + 59(x+2)^4 - 12(x+2)^5 + (x+2)^6, \quad R = \infty.\n]

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