Encontre a série de Taylor de
centrada no valor dado de
. [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
.] Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=x6−x4+2 centrada em a=−2. O conteúdo é série de Taylor em torno de um ponto e precisamos expressar f como soma de potências de (x−a), encontrando os coeficientes. Como f é polinomial, uma forma prática é reescrever x em termos de h=x−a e expandir o polinômio.
Passo 2
Definimos h=x−(−2)=x+2. Logo x=h−2 e podemos reescrever
Isso nos dá uma expressão em potências de h.
Passo 3
Aplicamos o teorema binomial para expandir (h−2)^6 e (h−2)^4:
Passo 4
Subtraindo as expansões e somando 2, temos
Agora organizamos termos semelhantes em potências de h.
Passo 5
Coletando os termos, chegamos à série de Taylor em h:
onde h=x+2. Assim,
Passo 6
Como f é polinomial, sua série de Taylor coincide com o próprio polinômio e converge para todo x. Portanto, o raio de convergência é infinito.
Resposta
[\n f(x) = 50 - 160(x+2) + 216(x+2)^2 - 152(x+2)^3 + 59(x+2)^4 - 12(x+2)^5 + (x+2)^6, \quad R = \infty.\n]