Dada a função
, determinar:
(a) Sua função inversa
(b) O conjunto
.
(a) Sua função inversa
(b) O conjunto
Passo 1
O enunciado pede para, dada a função
,,
, encontrarmos sua inversa
e o conjunto imagem
. O conteúdo aqui é função inversa e análise de imagem, e vamos precisar usar álgebra para isolar
em termos de
, além de estudar limites para determinar a imagem.
Passo 2
Primeiro, identificamos o domínio de
. Como temos uma raiz quadrada no denominador, o radicando precisa ser positivo e diferente de zero:
Isso implica
Passo 3
Logo, o domínio de
é
, e sobre esse intervalo
.
Agora, para achar , escrevemos
e isolamos
. Começamos com
Agora, para achar
Passo 4
Invertemos ambos os lados:
Passo 5
Em seguida, elevamos ao quadrado:
Passo 6
Isolando
e extraindo a raiz cúbica, obtemos:
Passo 7
Portanto, a inversa é definida por
, cujo domínio é exatamente a imagem de
.
Para encontrar , analisamos o comportamento de
em
e
. Quando
,
faz
. Quando
,
faz
. Como
é contínua e estritamente decrescente em
, a imagem é o intervalo
.
Para encontrar
Resposta
(a)
(b)
(b)