Dada a função f(x)=1raizx^3-1, x neq 1, determinar:
(a) Sua função inversa f^-1
(b) O conjunto Im(f).

Passo 1

O enunciado pede para, dada a função f(x)=1raizx^3-1,, xneq1, encontrarmos sua inversa f^-1 e o conjunto imagem Im(f). O conteúdo aqui é função inversa e análise de imagem, e vamos precisar usar álgebra para isolar x em termos de y=f(x), além de estudar limites para determinar a imagem.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio de f. Como temos uma raiz quadrada no denominador, o radicando precisa ser positivo e diferente de zero:
x^3-1>0
Isso implica
x^3>1implies x>1

Passo 3

Logo, o domínio de f é (1,infty), e sobre esse intervalo f(x)>0.
Agora, para achar f^-1, escrevemos y=f(x) e isolamos x. Começamos com
y=1raizx^3-1

Passo 4

Invertemos ambos os lados:
1y=raizx^3-1

Passo 5

Em seguida, elevamos ao quadrado:
l(1yr)^2=x^3-1

Passo 6

Isolando x^3 e extraindo a raiz cúbica, obtemos:
x^3=1+1y^2implies x=raiz[3]1+1y^2

Passo 7

Portanto, a inversa é definida por f^-1(y)=raiz[3]1+1/y^2, cujo domínio é exatamente a imagem de f.
Para encontrar Im(f), analisamos o comportamento de f(x) em xto1^+ e xtoinfty. Quando xto1^+, x^3-1to0^+ faz f(x)to+infty. Quando xtoinfty, x^3-1toinfty faz f(x)to0^+. Como f é contínua e estritamente decrescente em (1,infty), a imagem é o intervalo (0,infty).

Resposta

(a) f^-1(x)=raiz[3]1+tfrac1x^2
(b) Im(f)=(0,infty)

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