Nos Exercícios de 15 a 18, ache a derivada total d ud t por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x, y e z antes da diferenciação.
u=raizx^2+y^2+z^2 ; x=tg t ; y=cos t ; z=sen t ; 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada total du/dt da função u=raizx^2+y^2+z^2 onde x=tan t, y=cos t, z=sin t, usando (a) regra da cadeia e (b) substituição direta. O conteúdo envolve derivada total em funções de várias variáveis e técnicas de diferenciação.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia precisamos primeiro as derivadas parciais de u(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2. Calculando:
partial upartial x=xraizx^2+y^2+z^2,partial upartial y=yraizx^2+y^2+z^2,partial upartial z=zraizx^2+y^2+z^2
Agora obtemos as derivadas de x(t),y(t),z(t):
dxdt=sec^2 t,dydt=-sin t,dzdt=cos t
Aplicando a regra da cadeia:
dudt=partial upartial xdxdt+partial upartial ydydt+partial upartial zdzdt

Passo 3

Substituindo x=tan t, y=cos t, z=sin t e as derivadas:
dudt=tan tucdotsec^2 t+cos tucdot(-sin t)+sin tucdotcos t
Como cos tsin t-cos tsin t=0 e u=raiztan^2 t+cos^2 t+sin^2 t=raiz1+tan^2 t=sec t, fica
dudt=tan tsec^2 tsec t=sec ttan t

Passo 4

No método (b) fazemos a substituição antes de derivar. Temos
nu(t)=raiztan^2 t+cos^2 t+sin^2 t=raiz1+tan^2 t=sec t
Agora diferenciamos u(t)=sec t usando (sec t)'=sec ttan t:
dudt=sec ttan t

Resposta

dudt=sec ttan t

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