Dada a função
, pede-se:
(a) Mostrar que
é injetora.
(b) Determinar a função inversa
.
© Determinar o conjunto
.
(a) Mostrar que
(b) Determinar a função inversa
© Determinar o conjunto
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a função
definida para
(com
, pois o denominador não pode ser zero). O objetivo é (a) provar que
é injetora, (b) achar
e © determinar
.
Passo 2
Para mostrar que
é injetora, vamos provar que ela é estritamente crescente em cada ramo do domínio. Primeiro calculamos a derivada:
Como
Passo 3
Para achar a inversa, escrevemos
e resolvemos para
:
Como
Passo 4
Para determinar
, analisamos os limites em cada ramo:
— Em :
e
, então o ramo gera
.
— Em :
e
(porém não atinge 1), portanto este ramo gera
.
Unindo os dois,
— Em
— Em
Unindo os dois,
Resposta
(a)
é injetora porque
para
.
(b)
©
(b)
©