Dada a função f(x)=9-x^24-x^2, x >= 0, pede-se:
(a) Mostrar que f é injetora.
(b) Determinar a função inversa f^-1.
© Determinar o conjunto Im(f).

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a função f(x)=9 - x^24 - x^2 definida para x>=0 (com xneq2, pois o denominador não pode ser zero). O objetivo é (a) provar que f é injetora, (b) achar f^-1 e © determinar Im(f).

Passo 2

Para mostrar que f é injetora, vamos provar que ela é estritamente crescente em cada ramo do domínio. Primeiro calculamos a derivada:
f'(x)=(-2x)(4 - x^2) - (9 - x^2)(-2x)(4 - x^2)^2 = 10x(4 - x^2)^2
Como (4 - x^2)^2>0 para todo xneq2 e em [0,infty) temos x>=0, concluímos que f'(x)>=0 e f'(x)>0 para x>0. Logo f é estritamente crescente em [0,2) e em (2,infty), e, por causa da descontinuidade em x=2, não há repetição de valores entre os dois ramos. Portanto f é injetora.

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos y=9 - x^24 - x^2 e resolvemos para x:
y(4 - x^2)=9 - x^2 implies 4y - yx^2 =9 - x^2 implies x^2(y -1)=4y -9 implies x^2=4y -9y -1
Como x>=0, temos
f^-1(y)=raiz4y -9y -1

Passo 4

Para determinar Im(f), analisamos os limites em cada ramo:
— Em [0,2): f(0)=9/4 e limxto2^-f(x)=+infty, então o ramo gera [9/4,+infty).
— Em (2,infty): limxto2^+f(x)=-infty e limxtoinftyf(x)=1 (porém não atinge 1), portanto este ramo gera ( -infty,1).
Unindo os dois,
Im(f)=(-infty,1)cup[9/4,+infty)

Resposta

(a) f é injetora porque f'(x)=10x(4-x^2)^2>0 para x>0.
(b) f^-1(y)=raiz4y-9y-1
© Im(f)=(-infty,1)cup[9/4,+infty)

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