Encontre a solução geral da equação diferencial de ordem superior.
2 d^5 xd s^5-7 d^4 xd s^4+12 d^3 xd s^3+8 d^2 xd s^2=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de ordem cinco com coeficientes constantes
2,x^(5)(s)-7,x^(4)(s)+12,x^(3)(s)+8,x''(s)=0
Para resolver, usamos o método do polinômio característico.

Passo 2

Assumimos x(s)=e^r s e obtemos o polinômio característico
2r^5-7r^4+12r^3+8r^2=0
Fatorando r^2, vem
r^2,(2r^3-7r^2+12r+8)=0,
logo há raiz r=0 de multiplicidade 2 e resta resolver
2r^3-7r^2+12r+8=0
Testando raízes racionais, verifica-se que r=-tfrac12 anula o polinômio cúbico.

Passo 3

Dividindo 2r^3-7r^2+12r+8 por l(r+tfrac12r) via divisão sintética, o quociente é
2r^2-8r+16=0
Esse segundo grau dá
r^2-4r+8=0Longrightarrow r=2pm2, i

Passo 4

Reunindo todas as raízes do característico:
r=0 (multiplicidade 2);
r=-tfrac12 (simples);
r=2pm2, i (complexas conjugadas).
Para cada raiz real r0 de multiplicidade m há termos do tipo e^r0 s,,s,e^r0 s,dots,s^m-1e^r0 s. Para o par complexo 2pm2, i surge e^2sl(cos2s e sin2sr).

Resposta

x(s)=C1+C2,s ;+;C3,e^-s/2;+;e^2sl(C4cos(2s)+C5sin(2s)r),
onde C1,C2,C3,C4,C5 são constantes arbitrárias.

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