Dada a função f(x)=5 x^23-x^53. Faça um esboço do gráfico de f determinando primeiro:
os pontos extremos relativos de f;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} $ e precisa esboçar o gráfico dela. O primeiro passo é encontrar os pontos extremos relativos, que são os pontos onde a função atinge um valor máximo ou mínimo. Para isso, vamos usar o cálculo diferencial, especificamente a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a derivada da função $ f(x) $ em relação a $ x $. A derivada nos ajuda a entender como a função está se comportando, ou seja, se está aumentando ou diminuindo em determinados pontos.
Então, vamos derivar cada termo:
f(x)
Aplicando a regra da potência, onde $ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} $:
x
Simplificando:
f'(x) = ddx(5 x^23) - ddx(x^53)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem extremos relativos.
Primeiro, igualamos a derivada a zero:
x
Multiplicando ambos os lados por $ 3 x^{\frac{1}{3}} $ para eliminar o denominador e o expoente negativo:
103 x^-13 - 53 x^23 = 0
Resolvendo para $ x $:
3 x^13
Além disso, observamos que a derivada não existe quando $ x = 0 $, mas vamos verificar se isso faz sentido no contexto da função original.

Passo 4

Agora que temos os candidatos a pontos extremos ($ x = 2 $ e $ x = 0 $), vamos determinar se esses pontos realmente são máximos ou mínimos.
Para isso, podemos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos:
  • Para $ x = 2 $:
    • Se escolhermos um valor menor que 2, por exemplo, $ x = 1 $: x = 2 A derivada é positiva antes de 2, indicando que a função está crescendo.
    • Se escolhermos um valor maior que 2, por exemplo, $ x = 3 $: x = 0 A derivada é negativa depois de 2, indicando que a função está diminuindo.
    Como a derivada muda de positiva para negativa, $ x = 2 $ é um ponto de máximo relativo.
  • Para $ x = 0 $:
    • A derivada não existe em $ x = 0 $, mas ao observar a função original, vemos que $ f(0) = 0 $. Além disso, como a função é definida para $ x > 0 $, não consideramos $ x = 0 $ como um ponto extremo relevante neste contexto.

Resposta

O ponto extremo relativo da função $ f(x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} $ é um máximo relativo em $ x = 2 $. O valor máximo da função nesse ponto é $ f(2) = 5 \cdot 2^{\frac{2}{3}} - 2^{\frac{5}{3}} \approx 5 \cdot 1.587 - 3.174 \approx 7.935 - 3.174 \approx 4.761 $.
Assim, o ponto de máximo relativo é aproximadamente $ (2, 4.761) $.

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