Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Então, temos uma série infinita para analisar:
A matéria aqui é sobre convergência de séries, que nos ajuda a determinar se a soma de infinitos termos chega a um número específico ou não. Vamos precisar entender como o comportamento dos termos individuais influencia isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série, que é:
Queremos saber o que acontece com
quando
fica muito grande (ou seja, quando
tende ao infinito).
Passo 3
Para isso, identificamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador,
é o termo de maior grau, e no denominador,
é o maior. Então, quando
é grande, o termo
cresce muito mais rápido que
.
Isso significa que, para grandes valores de
, podemos aproximar
por:
Passo 4
Agora, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Segundo o teste da divergência, se o limite do termo geral não é zero, a série diverge, ou seja, não tem uma soma finita.
Resposta
A série é divergente.