Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=0^infty n^3-3 n^2+53 n^2+1

Passo 1

Então, temos uma série infinita para analisar:
sumn=0^infty n^3-3 n^2+53 n^2+1
A matéria aqui é sobre convergência de séries, que nos ajuda a determinar se a soma de infinitos termos chega a um número específico ou não. Vamos precisar entender como o comportamento dos termos individuais influencia isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série, que é:
an = n^3-3 n^2+53 n^2+1
Queremos saber o que acontece com an quando n fica muito grande (ou seja, quando n tende ao infinito).

Passo 3

Para isso, identificamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, n^3 é o termo de maior grau, e no denominador, 3n^2 é o maior. Então, quando n é grande, o termo n^3 cresce muito mais rápido que 3n^2.
Isso significa que, para grandes valores de n, podemos aproximar an por:
an approx n^33n^2 = n3

Passo 4

Agora, vamos analisar o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty an = limn to infty n3 = infty
Segundo o teste da divergência, se o limite do termo geral não é zero, a série diverge, ou seja, não tem uma soma finita.

Resposta

A série é divergente.

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