Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe. A gente precisa decidir se a série
é convergente ou divergente. Se der, a gente tenta encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, especialmente sobre séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a série que temos é uma série alternada porque tem o termo
, que faz os termos positivos e negativos se alternarem conforme
aumenta. Séries alternadas podem convergir mesmo que os termos não sejam todos positivos.
Passo 3
Agora, para verificar a convergência, vamos olhar para o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se:
- Os termos
são positivos, -
está diminuindo, ou seja, cada termo é menor que o anterior, - O limite de
quando tende ao infinito é zero,
então a série alternada
converge.
Passo 4
Vamos verificar cada uma dessas condições.
1. Termos positivos:
Como
começa em 1 e os termos são quadrados,
é sempre positivo.
2. Termos diminuindo:
Vamos ver se diminui quando
aumenta. Observando o numerador e o denominador:
Vamos ver se
- O numerador cresce como
, - O denominador cresce como
.
Então, conforme
aumenta,
tende a diminuir porque o denominador cresce mais rápido que o numerador.
3. Limite de
quando
tende ao infinito:
Calculamos:
Calculamos:
Então, o limite é
, que não é zero.
Passo 5
Como o limite de
não é zero (
), o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge. Na verdade, se o limite dos termos não é zero, a série diverge.
Resposta
A série
diverge.