Decida se as séries dadas são convergentes ou divergentes. Se possível determine a sua soma.
sumn=1^infty(-1)^n n^2+3(2 n-5)^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe. A gente precisa decidir se a série
sumn=1^infty (-1)^n n^2+3(2n-5)^2
é convergente ou divergente. Se der, a gente tenta encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, especialmente sobre séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a série que temos é uma série alternada porque tem o termo (-1)^n, que faz os termos positivos e negativos se alternarem conforme n aumenta. Séries alternadas podem convergir mesmo que os termos não sejam todos positivos.

Passo 3

Agora, para verificar a convergência, vamos olhar para o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se:
  1. Os termos an = n^2+3(2n-5)^2 são positivos,
  2. an está diminuindo, ou seja, cada termo é menor que o anterior,
  3. O limite de an quando n tende ao infinito é zero,
então a série alternada sum (-1)^n an converge.

Passo 4

Vamos verificar cada uma dessas condições.
1. Termos positivos:
an = n^2+3(2n-5)^2
Como n começa em 1 e os termos são quadrados, an é sempre positivo.
2. Termos diminuindo:
Vamos ver se an diminui quando n aumenta. Observando o numerador e o denominador:
  • O numerador cresce como n^2,
  • O denominador cresce como (2n)^2 = 4n^2.
Então, conforme n aumenta, an tende a diminuir porque o denominador cresce mais rápido que o numerador.
3. Limite de an quando n tende ao infinito:
Calculamos:
limn to infty n^2+3(2n-5)^2 = limn to infty n^24n^2 = 14
Então, o limite é 14, que não é zero.

Passo 5

Como o limite de an não é zero ( 14 neq 0), o Teste da Série Alternada nos diz que a série não converge. Na verdade, se o limite dos termos não é zero, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n n^2+3(2n-5)^2 diverge.

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