Determinar, se existir, a função inversa de cada uma das funções a seguir:
f(x)=raiz3 x-1, onde x in] 13,+infty[.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função inversa de f(x)= raiz3x-1 cujo domínio é x∈ ]tfrac13,infty[. O conteúdo aplicado é o de funções inversas, e vamos precisar usar a definição: trocar f(x) por y, isolar x em função de y e então renomear variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar que f é injetora e, portanto, invertível. Note que f′(x)= dfrac32raiz3x-1 é positiva para todo x> tfrac13, então f é estritamente crescente e admite inversa.

Passo 3

Definimos y= raiz3x-1. Para achar a inversa, elevamos ao quadrado:
y^2=3x-1

Passo 4

Daí isolamos x:
x=y^2+13

Passo 5

Por fim, renomeamos y→x para escrever a inversa.

Resposta

A função inversa é f{-1}(x)=\frac{x2+1}{3}, com domínio x∈\left]0,\infty\right[.

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