Dada a função f(x)=x^33-400 x, determine:
se f tem máximos ou mínimos locais e os pontos onde ocorrem.

Passo 1

A função dada é f(x)= x^33-400x. O que precisamos aqui é usar cálculo de derivadas para encontrar os extremos locais: primeiro achamos a derivada, em seguida achamos os pontos críticos e por fim usamos a segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e achamos os pontos críticos. A primeira derivada é f’(x)= ddx(x^33-400x)=x^2-400. Para achar os pontos críticos, resolvemos f’(x)=0, ou seja x^2-400=0, o que dá x=±20.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada e aplicamos o teste de segunda derivada. A segunda derivada é f’’(x)= ddx(x^2-400)=2x. Avaliando em x=20 temos f’’(20)=40>0, logo é mínimo local. Em x=-20 temos f’’(-20)=-40<0, logo é máximo local.

Passo 4

Para obter as coordenadas exatas dos extremos, calculamos f(-20) e f(20). Temos f(-20)= (-20)^33-400(-20)=-80003+8000=160003. E f(20)= 20^33-400·20=80003-8000=-160003.

Resposta

A função possui um máximo local em (-20, 16000/3) e um mínimo local em (20, -16000/3).

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