Nos exercícios de (9) a (16), aplique Teste da Razão ou Raíz, para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva.
ak+1=1+tan ^-1 kk ak, a1=2,

Passo 1

O enunciado define uma série cujos termos satisfazem a relação de recorrência ak+1=1+tan^-1kk,ak com a1=2. O objetivo é usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para concluir se sumk=1^infty ak converge, diverge ou se o teste é inconclusivo.

Passo 2

O Teste da Razão diz que, se L=limktoinftyl|ak+1/akr|, então (i) se L<1 a série converge absolutamente, (ii) se L>1 diverge, (iii) se L=1 é inconclusivo. Aqui temos
ak+1ak=1+tan^-1kk

Passo 3

Agora basta calcular o limite dessa razão:
limktoinftyak+1ak=limktoinfty1+tan^-1kk

Passo 4

Como tan^-1ktotfracpi2 quando ktoinfty, o numerador tende a 1+tfracpi2, ou seja, uma constante, e o denominador cresce sem limite. Logo esse quociente tende a zero.

Passo 5

Como o limite L=0<1, pelo Teste da Razão a série sumk=1^infty ak converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente, pois o Teste da Razão dá L=0<1.

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