Nos exercícios de (9) a (16), aplique Teste da Razão ou Raíz, para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva. ,
Passo 1
O enunciado define uma série cujos termos satisfazem a relação de recorrência com . O objetivo é usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para concluir se converge, diverge ou se o teste é inconclusivo.
Passo 2
O Teste da Razão diz que, se , então (i) se L<1 a série converge absolutamente, (ii) se L>1 diverge, (iii) se L=1 é inconclusivo. Aqui temos
ak+1ak=1+tan^-1kk
Passo 3
Agora basta calcular o limite dessa razão:
limktoinftyak+1ak=limktoinfty1+tan^-1kk
Passo 4
Como tan^-1ktotfracpi2 quando ktoinfty, o numerador tende a 1+tfracpi2, ou seja, uma constante, e o denominador cresce sem limite. Logo esse quociente tende a zero.
Passo 5
Como o limite L=0<1, pelo Teste da Razão a série sumk=1^infty ak converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente, pois o Teste da Razão dá L=0<1.