Dada a função
, determine:
os pontos de inflexão de
, se existirem, e a concavidade do gráfico de
.
os pontos de inflexão de
Passo 1
Resumo: temos a função
. O objetivo é determinar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade, usando as derivadas de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Calcule a primeira derivada:
. Em seguida, derive novamente para obter a segunda derivada:
.
Passo 3
O ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde
. Resolvendo
vem
. Avaliando em
, temos
, logo o ponto de inflexão é
.
Passo 4
Para determinar a concavidade, estudamos o sinal de
: para
,
(côncava para baixo); para
,
(côncava para cima).
Resposta
O único ponto de inflexão é (0,0). A curva é côncava para baixo em (-∞,0) e côncava para cima em (0,∞).