Dada a função f(x)=x^33-400 x, determine:
os pontos de inflexão de f, se existirem, e a concavidade do gráfico de f.

Passo 1

Resumo: temos a função f(x)=x^33-400x. O objetivo é determinar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade, usando as derivadas de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Calcule a primeira derivada: f'(x)=ddxl(tfracx^33-400xr)=x^2-400. Em seguida, derive novamente para obter a segunda derivada: f''(x)=ddx(x^2-400)=2x.

Passo 3

O ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde f''(x)=0. Resolvendo 2x=0 vem x=0. Avaliando em f, temos f(0)=0, logo o ponto de inflexão é (0,0).

Passo 4

Para determinar a concavidade, estudamos o sinal de f''(x)=2x: para x<0, 2x<0 (côncava para baixo); para x>0, 2x>0 (côncava para cima).

Resposta

O único ponto de inflexão é (0,0). A curva é côncava para baixo em (-∞,0) e côncava para cima em (0,∞).

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