Dada a função f(x)=x^3-9 x^2-48 x+52, determine:
as coordenadas de máximo e mínimo local;

Passo 1

Beleza, o exercício diz: “Dada a função , determine as coordenadas de máximo e mínimo local.”
Conteúdo: derivada de polinômio e teste de extrema local (segunda derivada).
O que vamos precisar:
  • Calcular a derivada primeira para achar pontos onde a inclinação é zero (pontos críticos).
  • Calcular a derivada segunda para classificar cada ponto crítico como máximo ou mínimo.

Passo 2

  1. Derivada primeira: f(x)=x^3-9x^2-48x+52 ;Longrightarrow; f'(x)=3x^2-18x-48
  2. Achar pontos críticos fazendo 3x^2-18x-48=0 ;Longrightarrow; x^2-6x-16=0 : DeUsa Bhaskara ( x = 6pmraiz1002 = 6pm102 ;Longrightarrow; x1=8, x2=-2 ):

Passo 3

Agora, para saber se cada ponto é máximo ou mínimo, a gente calcula a segunda derivada:
f''(x) = ddx(3x^2-18x-48) = 6x-18
Avalia em f''(8)=6cdot8-18=48-18=30>0 ;Longrightarrow; mínimo local em x=8 :
f''(-2)=6cdot(-2)-18=-12-18=-30<0 ;Longrightarrow; máximo local em x=-2 í
Avalia em :
á

Passo 4

Só falta achar as alturas f(8)=8^3-9cdot8^2-48cdot8+52=512-576-384+52=-396, e f(-2)=(-2)^3-9cdot(-2)^2-48cdot(-2)+52=-8-36+96+52=104 :

Resposta

Máximo local em e mínimo local em .

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