Dada a função f(x)=x^3-9 x^2-48 x+52, determine:
os intervalos que são crescentes ou decrescentes;

Passo 1

Beleza, o problema é este: “Dada a função , determine os intervalos em que ela é crescente ou decrescente.”
Conteúdo que vamos usar: derivada de função, teste de sinal da derivada para identificar crescimento e decrescimento. Para resolver a gente vai calcular , achar onde ela zera (pontos críticos) e analisar o sinal de nos intervalos definidos por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, lembra que a derivada de f(x)=x^3-9x^2-48x+52 Longrightarrow f'(x)=3x^2-18x-48 indica a inclinação da curva em cada ponto. Se , a função sobe (é crescente); se , ela desce (é decrescente).
Então vamos derivar:

Passo 3

Agora, a gente encontra os pontos onde 3x^2-18x-48=0 . Isso dá o polinômio
x^2-6x-16=0
Dividindo tudo por 3 para facilitar:
x = 6 pm raiz(-6)^2 - 4cdot1cdot(-16)2cdot1 = 6 pm raiz36+642 = 6 pm 102
Usando a fórmula de Bhaskara:
x1 = 6+102=8, x2 = 6-102=-2
Logo os zeros são

Passo 4

Com os pontos críticos e , dividimos a reta real em três intervalos:
, e .
Como é um polinômio do 2º grau com coeficiente positivo em , ele “abre para cima”. Isso significa:
  • Para , ambos os fatores e são negativos, então o produto é positivo .
  • Para , mas , o produto fica negativo .
  • Para , os dois fatores são positivos, produto positivo .

Passo 5

Interpretação final:
  • Em , é crescente.
  • Em , é decrescente.
  • Em , é crescente.

Resposta

A função é crescente em e em , e decrescente em .

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