Dada a função
, determine:
os intervalos que são crescentes ou decrescentes;
os intervalos que são crescentes ou decrescentes;
Passo 1
Beleza, o problema é este: “Dada a função
, determine os intervalos em que ela é crescente ou decrescente.”
Conteúdo que vamos usar: derivada de função, teste de sinal da derivada para identificar crescimento e decrescimento. Para resolver a gente vai calcular , achar onde ela zera (pontos críticos) e analisar o sinal de
nos intervalos definidos por esses pontos.
Conteúdo que vamos usar: derivada de função, teste de sinal da derivada para identificar crescimento e decrescimento. Para resolver a gente vai calcular
Passo 2
Primeiro, lembra que a derivada de
indica a inclinação da curva em cada ponto. Se
, a função sobe (é crescente); se
, ela desce (é decrescente).
Então vamos derivar:
Então vamos derivar:
Passo 3
Agora, a gente encontra os pontos onde
. Isso dá o polinômio
Dividindo tudo por 3 para facilitar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Logo os zeros são
Passo 4
Com os pontos críticos
e
, dividimos a reta real em três intervalos:
,
e
.
Como é um polinômio do 2º grau com coeficiente positivo em
, ele “abre para cima”. Isso significa:
Como
- Para
, ambos os fatores e são negativos, então o produto é positivo . - Para
, mas , o produto fica negativo . - Para
, os dois fatores são positivos, produto positivo .
Passo 5
Interpretação final:
- Em
, → é crescente. - Em
, → é decrescente. - Em
, → é crescente.
Resposta
A função
é crescente em
e em
, e decrescente em
.