Dada a função
f(x)=x^4+x^33-4 x^2
faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^4+tfracx^33-4x^2. Vamos esboçar seu gráfico usando análise de derivadas (para monotonicidade e extremos), raízes, segunda derivada (para concavidade e pontos de inflexão) e comportamento para xtopminfty.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira:
f'(x)=4x^3+x^2-8x = xl(4x^2+x-8r)
Para achar os pontos críticos resolvemos f'(x)=0, obtendo
x=0, 4x^2+x-8=0 implies x=-1pmraiz1+1288=-1pmraiz1298approx -1,545,;1,295

Passo 3

Para classificar esses pontos usamos a segunda derivada:
f''(x)=12x^2+2x-8
Avaliando:
  • Em xapprox -1,545: f''>0 → mínimo local
  • Em x=0: f''(0)=-8<0 → máximo local
  • Em xapprox 1,295: f''>0 → mínimo local

Passo 4

A seguir encontramos as raízes de f(x). Fatorando:
f(x)=x^2l(x^2+tfracx3-4r)=0
Da parte quadrática:
3x^2+x-12=0 implies x=-1pmraiz1456approx -2,174,;1,840
Além disso, x=0 é raiz dupla.

Passo 5

Para o comportamento assintótico notamos que, por ser um polinômio de grau 4 com coeficiente principal positivo, temos:
limxtopminftyf(x)=+infty

Passo 6

Determinamos os pontos de inflexão resolvendo f''(x)=0:
12x^2+2x-8=0implies x=-2pmraiz4+38424=-2pmraiz38824approx -0,904,;0,737
Avalia-se f nesses x para posicioná-los no esboço.

Passo 7

Com todos esses dados (extremos, zeros, inflexão e comportamento para xtopminfty) fazemos o esboço: a curva sobe de +infty em xto-infty, atinge mínimo em xapprox-1,545, sobe até máximo em (0,0), desce até mínimo em xapprox1,295 e então volta a crescer para +infty.

Passo 8

Plotamos também as raízes em xapprox-2,174,;0 (multiplicidade 2) e 1,840, e marcamos os pontos de inflexão em xapprox-0,904 e 0,737 para completar o esboço.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^4+tfracx^33-4x^2 é uma curva de quarto grau que:
  • Cresce para +∞ quando xtopminfty.
  • Tem mínimo local em xapprox-1,545 com fapprox-5,085.
  • Tem máximo local em 0,0.
  • Tem mínimo local em xapprox1,295 com fapprox-3,169.
  • Zeros em xapprox-2,174, 0 (dupla) e 1,840.
  • Pontos de inflexão em xapprox-0,904 e 0,737.
Com esses pontos marcados, basta desenhar a curva ligando-os obedecendo o sinal de f' e a concavidade de f'' para obter o esboço completo.

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