Dada a função
faça um esboço do gráfico de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
. Vamos esboçar seu gráfico usando análise de derivadas (para monotonicidade e extremos), raízes, segunda derivada (para concavidade e pontos de inflexão) e comportamento para
.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira:
Para achar os pontos críticos resolvemos
, obtendo
Passo 3
Para classificar esses pontos usamos a segunda derivada:
Avaliando:
- Em
: → mínimo local - Em
: → máximo local - Em
: → mínimo local
Passo 4
A seguir encontramos as raízes de
. Fatorando:
Da parte quadrática:
Além disso,
é raiz dupla.
Passo 5
Para o comportamento assintótico notamos que, por ser um polinômio de grau 4 com coeficiente principal positivo, temos:
Passo 6
Determinamos os pontos de inflexão resolvendo
:
Avalia-se
nesses
para posicioná-los no esboço.
Passo 7
Com todos esses dados (extremos, zeros, inflexão e comportamento para
) fazemos o esboço: a curva sobe de
em
, atinge mínimo em
, sobe até máximo em
, desce até mínimo em
e então volta a crescer para
.
Passo 8
Plotamos também as raízes em
(multiplicidade 2) e
, e marcamos os pontos de inflexão em
e
para completar o esboço.
Resposta
O gráfico de
é uma curva de quarto grau que:
- Cresce para +∞ quando
. - Tem mínimo local em
com . - Tem máximo local em
. - Tem mínimo local em
com . - Zeros em
, (dupla) e . - Pontos de inflexão em
e .
Com esses pontos marcados, basta desenhar a curva ligando-os obedecendo o sinal de
e a concavidade de
para obter o esboço completo.