Dada a função
f(x)=x^4+x^33-4 x^2
indique o comportamento da concavidade;

Passo 1

Temos a função f(x)=x^4+x^33-4x^2. O objetivo é determinar onde ela é côncava para cima e para baixo, e identificar os pontos de inflexão. Vamos usar derivadas para isso.

Passo 2

Para estudar concavidade, lembramos que precisamos da segunda derivada f''(x). O sinal de f''(x)>0 indica concavidade para cima e f''(x)<0 indica concavidade para baixo. Pontos onde f''(x)=0 e muda de sinal são pontos de inflexão.

Passo 3

Primeiro calculamos a primeira e a segunda derivada. Temos
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f'(x)&=ddxl(x^4+x^33-4x^2r)=4x^3+x^2-8x, f''(x)&=ddx(4x^3+x^2-8x)=12x^2+2x-8

Passo 4

Agora achamos as raízes de f''(x)=0:
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12x^2+2x-8=0Longrightarrow6x^2+x-4=0Longrightarrow x=-1pmraiz1+9612=-1pmraiz9712

Passo 5

Para saber onde f''(x) é positivo ou negativo, lembramos que f''(x) é uma parábola com concavidade para cima (coeficiente de x^2 positivo). Logo:
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f''(x)>0 em l(-infty,,tfrac-1-raiz9712r)cupl(tfrac-1+raiz9712,,inftyr),
f''(x)<0 em l(tfrac-1-raiz9712,,tfrac-1+raiz9712r)

Passo 6

Portanto a função é côncava para cima em x e em x>tfrac-1+raiz9712, e côncava para baixo no intervalo entre essas raízes. Os pontos x=tfrac-1pmraiz9712 são pontos de inflexão.

Resposta

Concavidade para cima em l(-infty,tfrac-1-raiz9712r)cupl(tfrac-1+raiz9712,inftyr); concavidade para baixo em l(tfrac-1-raiz9712,tfrac-1+raiz9712r); pontos de inflexão em x=tfrac-1-raiz9712 e x=tfrac-1+raiz9712.

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