Dada a função
f(x)=l (x+9)^2-8 se x<-7 -raiz25-(x+4)^2 se -7 <= x <= 0 (x-2)^2-7 se 0
faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

A função é definida em três partes: para x<−7 temos uma parábola, para −7≤x≤0 temos um semicírculo e, para x>0, outra parábola. Vamos usar conhecimentos de esboço de parábolas e de circunferência.

Passo 2

Para x<−7: f(x)=(x+9)²−8 é parábola com concavidade para cima e vértice em (−9,−8). No ponto de transição x→−7 temos f(−7)=(2)²−8=−4, que fica marcado como círculo aberto em (−7,−4) porque esse valor não está incluído nesta parte.

Passo 3

Para −7≤x≤0: f(x)=−√(25−(x+4)²) é a parte inferior de um círculo de raio 5 centrado em (−4,0). Em x=−7 dá f=−4 e em x=0 dá f=−3; esses dois pontos são incluídos (círculos fechados). Desenhamos o arco do semicírculo ligando (−7,−4) a (0,−3).

Passo 4

Para x>0: f(x)=(x−2)²−7 é parábola com concavidade para cima e vértice em (2,−7). Em x→0 temos f(0)=4−7=−3, marcado com círculo aberto em (0,−3). Desenhamos a parábola para todo x>0.

Passo 5

Juntando tudo: a parábola da esquerda vai de x=−∞ até aproximar-se de (−7,−4) abertamente; o semicírculo inferior conecta (−7,−4) fechado até (0,−3) fechado; e a parábola da direita sai de (0,−3) abertamente e desce até seu vértice (2,−7) depois sobe.

Resposta

O gráfico de f é composto por:
  1. Para x<−7: uma parábola com vértice em (−9,−8) que se aproxima de (−7,−4) com ponto aberto.
  2. Para −7≤x≤0: a parte inferior de um círculo de raio 5 centrado em (−4,0), indo de (−7,−4) a (0,−3) por um arco, ambos pontos fechados.
  3. Para x>0: uma parábola com vértice em (2,−7), partindo de (0,−3) com ponto aberto e subindo depois de x=2.

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