Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso envolve entender sobre séries de potências e como determinar para quais valores de essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que para uma série , o limite nos ajuda a determinar a convergência:
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | (n+1)^22 n^2 x | = limn to infty | n^2 + 2n + 12n^2 x | = limn to infty | 1 + 2n + 1n^22 x | = | 12 x | tende ao infinito:
Passo 6
Para que a série convirja, precisamos que | 12 x | < 1 implies |x| < 2 :
Isso nos dá o raio de convergência.
Passo 7
Agora, precisamos verificar os pontos finais do intervalo sumn=0^infty n^22^n (2)^n = sumn=0^infty n^2 , ou seja, sumn=0^infty n^22^n (-2)^n = sumn=0^infty n^2 (-1)^n e .
Para :
Essa série diverge, pois a soma de tende ao infinito.
Para :
Essa série também diverge, já que os termos não tendem a zero.