Exercs. 1-30: Ache o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty n^22^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso envolve entender sobre séries de potências e como determinar para quais valores de essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que para uma série , o limite nos ajuda a determinar a convergência:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = n^22^n x^n na nossa série:
an+1 = (n+1)^22^n+1 x^n+1
Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, aplicamos o teste da razão:
| an+1an | = | (n+1)^22^n+1 x^n+1 n^22^n x^n | = | (n+1)^22^n+1 cdot 2^nn^2 cdot x^n+1 cdot 1x^n |
Simplificando:
= | (n+1)^22 n^2 x |

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty | (n+1)^22 n^2 x | = limn to infty | n^2 + 2n + 12n^2 x | = limn to infty | 1 + 2n + 1n^22 x | = | 12 x | tende ao infinito:

Passo 6

Para que a série convirja, precisamos que | 12 x | < 1 implies |x| < 2 :
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 7

Agora, precisamos verificar os pontos finais do intervalo sumn=0^infty n^22^n (2)^n = sumn=0^infty n^2 , ou seja, sumn=0^infty n^22^n (-2)^n = sumn=0^infty n^2 (-1)^n e .
Para :
Essa série diverge, pois a soma de tende ao infinito.
Para :
Essa série também diverge, já que os termos não tendem a zero.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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