^a Questão. Calcule a integral de linha do campo vetorial F ao longo do caminho descrito.
F(x, y)=(2 a-y) i+x j ao longo do caminho descrito por r(t)=a(t-sin t) i+a(1-cos t) j.

Passo 1

Resumo do enunciado: A gente quer calcular a integral de linha do campo vetorial vec F(x,y)=(2a-y),hat i + x,hat j ao longo da curva dada por vec r(t)=a(t-sin t),hat i + a(1-cos t),hat j. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial, e vamos usar a parametrização, o produto escalar e integrar em [0,2pi] para uma volta completa do ciclo.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada da parametrização. Como x(t)=a(t-sin t) e y(t)=a(1-cos t), temos
vec r,'(t)=l(x'(t),y'(t)r)=l(a(1-cos t),;asin tr)

Passo 3

Em seguida, avaliamos o campo em vec r(t). Substituindo x=x(t) e y=y(t) em vec F, dá
vec F(vec r(t))=l(2a - a(1-cos t),;a(t-sin t)r)=l(a + acos t,;a t - asin tr)

Passo 4

Agora, montamos o integrando da integral de linha, que é vec F(vec r(t))cdotvec r,'(t):
vec F(vec r(t))cdotvec r,'(t)=l(a + acos tr)cdot a(1-cos t) + l(a t - asin tr)cdot asin t
Fazendo as multiplicações, observa-se que os termos com sin^2 t se cancelam, sobrando
vec F(vec r(t))cdotvec r,'(t)=a^2,tsin t

Passo 5

Por fim, integramos de t=0 até t=2pi:
integral0^2pia^2,tsin t,dt = a^2integral0^2pitsin t,dt
Usando integração por partes u=t, dv=sin t,dt, achamos
integral0^2pitsin t,dt = [-tcos t + sin t]0^2pi = -2pi
Logo a integral vale a^2times(-2pi).

Resposta

-2\pi a^2

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