Questão. Calcule a integral de linha do campo vetorial
ao longo do caminho descrito.
ao longo do caminho descrito por
.
Passo 1
Resumo do enunciado: A gente quer calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva dada por
. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial, e vamos usar a parametrização, o produto escalar e integrar em
para uma volta completa do ciclo.
Passo 2
Para começar, calculamos a derivada da parametrização. Como
e
, temos
Passo 3
Em seguida, avaliamos o campo em
. Substituindo
e
em
, dá
Passo 4
Agora, montamos o integrando da integral de linha, que é
:
Fazendo as multiplicações, observa-se que os termos com
se cancelam, sobrando
Passo 5
Por fim, integramos de
até
:
Usando integração por partes
,
, achamos
Logo a integral vale
.
Resposta
-2\pi a^2