Encontre o vetor gradiente das seguintes funções nos pontos dados:
no ponto
Passo 1
O enunciado pede para a gente achar o vetor gradiente de f(x,y)=e^{2x−y}+2x+2y no ponto P=(1/2,1). O conteúdo aqui é derivada parcial e gradiente: vamos precisar saber que o gradiente de f é dado por ∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y) e então avaliar em P.
Passo 2
Para achar ∂f/∂x e ∂f/∂y, lembramos que quando temos uma função composta do tipo e^{2x−y}, a derivada em relação a x traz um fator 2 por causa de 2x, e em relação a y traz um fator −1. Portanto, vamos escrever explicitamente as derivadas parciais:
∂f/∂x = 2e^{2x−y} + 2
∂f/∂y = −e^{2x−y} + 2
∂f/∂x = 2e^{2x−y} + 2
∂f/∂y = −e^{2x−y} + 2
Passo 3
Agora avaliamos essas expressões no ponto P=(1/2,1). Primeiro calculamos o expoente:
2⋅(1/2) − 1 = 1 − 1 = 0
e^{0} = 1
Substituindo em ∂f/∂x e ∂f/∂y temos:
∂f/∂x|{P} = 2⋅1 + 2 = 4
∂f/∂y|{P} = −1 + 2 = 1
∂f/∂x|{P} = 2⋅1 + 2 = 4
∂f/∂y|{P} = −1 + 2 = 1
Passo 4
Pronto! O vetor gradiente no ponto P é simplesmente esses componentes juntos.
Resposta
(4, 1)