A função é dada por f(x)=k x no intervalo [0,2] e é zero fora desse intervalo.
Precisamos usar essa função para obter k e depois calcular uma probabilidade que corresponde a uma integral entre 1 e 2.]
Passo 2
Entendimento do que usar (fórmula importante e por que): para que a função seja uma função de densidade válida (isto é, adequada para descrever probabilidades), o total da área sob a curva ao longo de todo o eixo real deve ser igual a 1. Em forma matemática isso é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [0,2], a integral reduz-se a integrar apenas em [0,2]. Portanto a condição de normalização se escreve
\int_{0}^{2} k x\,dx = 1.
Explicando cada símbolo: aqui x é a variável de integração (a coordenada no eixo horizontal), k é a constante desconhecida que queremos achar, e \int_{a}^{b} g(x)\,dx representa a área sob a curva g(x) entre x=a e x=b.
Passo 3
Calcular a integral para encontrar k. Primeiro, sabemos que uma primitiva (ou antiderivada) de x é \dfrac{x^{2}}{2}, pois a derivada de \dfrac{x^{2}}{2} dá x. Assim
\int_{0}^{2} k x\,dx = k \int_{0}^{2} x\,dx = k\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}.
Interpretação final breve e encorajamento: k=\dfrac{1}{2} normaliza a densidade e a probabilidade de X cair entre 1 e 2 é bastante alta, \dfrac{3}{4}. Bom trabalho por chegar até aqui — está indo bem, com prática esses passos viram rotina!