Dada a função:
f(x)= \begin{cases}k x, & 0 \leq x \leq 2 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á
a) Determine o valor de k
b) Calcule P(1 \leq X \leq 2)

Passo 1

O enunciado fornece a função definida por partes
f(x)= \begin{cases}k x, & 0 \leq x \leq 2, \\[4pt] 0, & \text{caso contrário,} \end{cases}á
e pede duas coisas:
  • (a) determinar o valor de k;
  • (b) calcular P(1 \leq X \leq 2).
Informações relevantes explicitadas:
  • A função é dada por f(x)=k x no intervalo [0,2] e é zero fora desse intervalo.
  • Precisamos usar essa função para obter k e depois calcular uma probabilidade que corresponde a uma integral entre 1 e 2.]

Passo 2

Entendimento do que usar (fórmula importante e por que): para que a função seja uma função de densidade válida (isto é, adequada para descrever probabilidades), o total da área sob a curva ao longo de todo o eixo real deve ser igual a 1. Em forma matemática isso é
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Como f(x)=0 fora de [0,2], a integral reduz-se a integrar apenas em [0,2]. Portanto a condição de normalização se escreve
\int_{0}^{2} k x\,dx = 1.
Explicando cada símbolo: aqui x é a variável de integração (a coordenada no eixo horizontal), k é a constante desconhecida que queremos achar, e \int_{a}^{b} g(x)\,dx representa a área sob a curva g(x) entre x=a e x=b.

Passo 3

Calcular a integral para encontrar k. Primeiro, sabemos que uma primitiva (ou antiderivada) de x é \dfrac{x^{2}}{2}, pois a derivada de \dfrac{x^{2}}{2} x. Assim
\int_{0}^{2} k x\,dx = k \int_{0}^{2} x\,dx = k\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}.
Agora avalia-se o colchete:
\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2.
Logo a integral vale k\cdot 2. Impor que isso seja 1
2k = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{2}.

Passo 4

Resumo e interpretação: encontramos k=\dfrac{1}{2}. Isso significa que a densidade no intervalo [0,2] é
f(x)=\frac{1}{2}x\quad\text{para }0\le x\le2.
Rápida checagem mental: a função é não negativa no intervalo e a integral total ficou 1, então está tudo consistente.

Passo 5

Agora calculamos a probabilidade pedida:
P(1\le X\le 2)=\int_{1}^{2} f(x)\,dx.
Substituindo f(x)=\dfrac{1}{2}x obtemos
P(1\le X\le 2)=\int_{1}^{2} \frac{1}{2}x\,dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} x\,dx.
Usando a primitiva \dfrac{x^{2}}{2} novamente:
\frac{1}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigl(2^{2}-1^{2}\bigr) = \frac{1}{4}(4-1)=\frac{3}{4}.
Em forma decimal isso é 0,75.

Passo 6

Interpretação final breve e encorajamento: k=\dfrac{1}{2} normaliza a densidade e a probabilidade de X cair entre 1 e 2 é bastante alta, \dfrac{3}{4}. Bom trabalho por chegar até aqui — está indo bem, com prática esses passos viram rotina!

Resposta

k=\dfrac{1}{2}
P(1\le X\le 2)=\dfrac{3}{4}

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