1. Considere 3 lançamentos seguidos de uma moeda honesta. Qual a probabilidade de sair apenas 1 cara nesses 3 lançamentos?

Passo 1

O enunciado dá uma moeda honesta lançada 3 vezes, ou seja, há três lançamentos consecutivos. A pergunta é clara: qual a probabilidade de sair apenas 1 cara nesses 3 lançamentos?
Informações relevantes do enunciado:
  • Número de lançamentos: n=3.
  • A moeda é honesta, então a probabilidade de cara em cada lançamento é p=\tfrac{1}{2} e de coroa é 1-p=\tfrac{1}{2}.
  • Queremos a probabilidade de exatamente k=1 cara nos 3 lançamentos.

Passo 2

Vamos entender o espaço amostral: cada lançamento tem 2 resultados possíveis (cara ou coroa). Como os lançamentos são independentes, o número total de resultados possíveis em sequência é
2^3 = 8.
Posso enumerar todos os 8 resultados possíveis (usando \text{cara} e \text{coroa}):
(\text{cara},\text{cara},\text{cara}),\; (\text{cara},\text{cara},\text{coroa}),\; (\text{cara},\text{coroa},\text{cara}),\; (\text{cara},\text{coroa},\text{coroa}),
(\text{coroa},\text{cara},\text{cara}),\; (\text{coroa},\text{cara},\text{coroa}),\; (\text{coroa},\text{coroa},\text{cara}),\; (\text{coroa},\text{coroa},\text{coroa}).

Passo 3

Agora identifique os resultados que satisfazem o evento “apenas 1 cara”. São exatamente aqueles com um único elemento \text{cara}. Da enumeração, esses são:
(\text{cara},\text{coroa},\text{coroa}),\; (\text{coroa},\text{cara},\text{coroa}),\; (\text{coroa},\text{coroa},\text{cara}).
Portanto o número de resultados favoráveis é 3.

Passo 4

Regra básica de probabilidade para casos equiprováveis: a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\text{número de resultados favoráveis}}{\text{número total de resultados}}.úáú
Aqui isso dá
P(\text{apenas 1 cara})=\frac{3}{8}.
Em forma decimal isso é 0,375.

Passo 5

Vou mostrar também uma forma sistemática que serve para problemas semelhantes (útil na prova): a distribuição binomial. Quando se tem n ensaios independentes, cada um com probabilidade p de sucesso (aqui “sucesso” = sair cara), a probabilidade de obter exatamente k sucessos é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} conta de quantas maneiras podemos escolher as posições dos k sucessos entre n tentativas. No nosso caso n=3, k=1, p=\tfrac{1}{2}. Então
P(X=1)=\binom{3}{1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}.
Calcule \binom{3}{1} usando a fórmula de combinação \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}:
\binom{3}{1}=\frac{3!}{1!\,2!}=\frac{3\cdot2\cdot1}{1\cdot(2\cdot1)}=3.
Substituindo,
P(X=1)=3\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=3\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{8},
o mesmo resultado que obtivemos ao contar diretamente.

Passo 6

Resumo prático para a prova (fica na cabeça): com 3 lançamentos de uma moeda justa, as maneiras de ter exatamente uma cara correspondem a escolher qual das 3 posições será cara, ou seja \binom{3}{1}=3, e dividindo pelo total 2^3=8 vem \tfrac{3}{8}. Força aí — você já sabia como fazer se vier algo parecido na prova!

Resposta

\dfrac{3}{8}=0,375

Exercícios relacionados