As notas de uma prova seguem distribuição normal com média 70 e desvio padrão 10 . Qual a probabilidade de um aluno tirar:
mais que 85

Passo 1

O enunciado diz que as notas seguem distribuição normal com média \mu = 70 e desvio padrão \sigma = 10. Pede a probabilidade de um aluno tirar mais que 85.
Informações dadas:
  • \mu = 70 (média das notas).
  • \sigma = 10 (desvio padrão).
  • Queremos \mathbb{P}(X>85), onde X é a nota de um aluno.

Passo 2

O que significa “distribuição normal” de forma prática (aula rápida e sem enrolação).
A distribuição normal descreve uma curva em forma de sino. Para resolver probabilidades numéricas, usamos a normal padrão, que é a normal com média 0 e desvio padrão 1. A ideia é transformar (padronizar) a variável X em uma variável Z que segue essa normal padrão. Assim conseguimos usar tabelas ou valores conhecidos da normal padrão.

Passo 3

A fórmula de padronização (explicada passo a passo):
Se X tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, definimos
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui cada parte significa:
  • X: a nota aleatória que estamos analisando;
  • \mu: a média da distribuição (ponto central);
  • \sigma: a “escala” da distribuição (quanto os valores costumam se desviar da média);
  • Z: número adimensional que indica quantos desvios-padrão X está acima (positivo) ou abaixo (negativo) da média.
Padronizar facilita porque Z segue a normal padrão N(0,1), cujas probabilidades estão tabuladas.

Passo 4

Aplicando a padronização ao ponto 85. Queremos
\mathbb{P}(X>85)=\mathbb{P}\!\left(\frac{X-70}{10}>\frac{85-70}{10}\right)=\mathbb{P}(Z>1,5).
Calculei \dfrac{85-70}{10} = \dfrac{15}{10} = 1,5. Logo o problema virou: “qual a probabilidade de uma normal padrão ser maior que 1,5?”

Passo 5

Como achar \mathbb{P}(Z>1,5) na prática.
Usando tabela da normal padrão (ou calculadora), primeiro encontramos \Phi(1,5)=\mathbb{P}(Z\le 1,5). Da tabela padrão sabe-se (ou a calculadora dá) que
\Phi(1,5)\approx 0,9332.
Então
\mathbb{P}(Z>1,5)=1-\Phi(1,5)\approx 1-0,9332=0,0668.
Explicação intuitiva rápida: estar 1,5 desvios-padrão acima da média não é comum, então a probabilidade é pequena — aqui cerca de 6{,}68\%.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova.
  • Resultado em forma de probabilidade decimal: 0,0668. Em porcentagem: 6{,}68\%.
  • Dica para a prova: sempre padronize com Z=(X-\mu)/\sigma. Depois use tabela da normal padrão (atenção ao uso da vírgula decimal: 1,5 na tabela) e lembre-se que \mathbb{P}(Z>a)=1-\Phi(a).

Resposta

\mathbb{P}(X>85)=0,0668 \approx 6,68\%

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