Dada a função f(x)= \begin{cases}x, & 0<x<\sqrt{2} \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á (a) Mostre que f(x) é uma função de densidade de probabilidade. (b) Calcule E(X) e \operatorname{Var}(X). (c) Calcule P(1<X<2). Passo 1O enunciado define a função f(x)= \begin{cases} x, & 0<x<\sqrt{2},\\\\ 0, & \text{caso contrário} \end{cases}á e pede: (a) mostrar que f é pdf, (b) calcular E(X) e \operatorname{Var}(X), (c) calcular P(1<X<2). Conteúdo: variáveis contínuas, propriedades de densidade, cálculo de esperança, variância e probabilidade por integrais. Passo 2Para ser pdf, precisamos de f(x)\ge0 e \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{\sqrt{2}}x\,dx. \int_{0}^{\sqrt{2}}x\,dx =\left.\frac{1}{2}x^{2}\right|_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{1}{2}(\sqrt{2})^{2} =1. Logo f\ge0 e se integra a 1, então é função densidade. Passo 3Pelo definição E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx =\int_{0}^{\sqrt{2}}x\cdot x\,dx =\int_{0}^{\sqrt{2}}x^{2}\,dx =\left.\frac{1}{3}x^{3}\right|_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{1}{3}(\sqrt{2})^{3} =\frac{2\sqrt{2}}{3}. Passo 4Primeiro calculamos E(X^{2}) =\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)\,dx =\int_{0}^{\sqrt{2}}x^{3}\,dx =\left.\frac{1}{4}x^{4}\right|_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{1}{4}\,(\sqrt{2})^{4} =1. Então \operatorname{Var}(X) =E(X^{2})-\bigl[E(X)\bigr]^{2} =1-\Bigl(\frac{2\sqrt{2}}{3}\Bigr)^{2} =1-\frac{8}{9} =\frac{1}{9}. Passo 5Para P(1<X<2) temos suporte até \sqrt{2}\approx1,414, então P(1<X<2) =\int_{1}^{2}f(x)\,dx =\int_{1}^{\sqrt{2}}x\,dx =\left.\frac{1}{2}x^{2}\right|_{1}^{\sqrt{2}} =\frac{1}{2}\bigl((\sqrt{2})^{2}-1^{2}\bigr) =\frac{1}{2}(2-1) =\frac{1}{2}. Resposta(a) f é pdf pois f\ge0 e \int f=1. (b) E(X)=\tfrac{2\sqrt{2}}{3}, \operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{9}. (c) P(1<X<2)=\tfrac{1}{2}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados2.21 As Cartas Chilenas são poemas críticos ao governador das Minas Gerais, que circularam em Ouro Preto em 1787. Não foram assinadas e por isso têm sido realizados vários estudos para se conhecer o autor. Em 1941, o mineiro Arlindo Chaves contou o número de palavras em cada um de 116 períodos escolhidos nas Cartas, no poema Vila Rica de Cláudio Manoel da Costa, e nas Liras, de Tomás Antônio Gonzaga, os dois inconfindentes usualmente considerados como autores. Obteve os seguintes resultados: Palavras Gonzaga Cartas Cláudio 0 \dashv 10 19 21 2 10 \dashv 20 28 26 9 20 \dashv 30 36 31 27 30 \dashv 40 22 18 14 40 \dashv 50 8 11 12 50 \dashv 60 3 4 14 60 \dashv 90 0 3 21 90 \dashv 120 0 2 17 Total 116 116 116 \sum x_{i} n_{i} 2710 3050 5980 \sum x_{i}^{2} n_{i} 81500 121100 408300 a) Calcule o tamanho médio do período em cada caso. b) Calcule a variância em cada caso. c) Construa os três histogramas. d) Em sua opinião, quem foi o autor das Cartas - Gonzaga ou Cláudio? Justifique. Uma pesquisa eleitoral será realizada em uma cidade com 1000000 de habitantes. Calcule o tamanho da amostra de modo que o erro relativo seja no máximo 5 \%. Se X \sim N(1,4), calcular: (a) P(1<X<3) Se X \sim N(1,4), calcular: (b) P(X>0)