Dada a função
f(x)= \begin{cases}x, & 0<x<\sqrt{2} \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á
(a) Mostre que f(x) é uma função de densidade de probabilidade.
(b) Calcule E(X) e \operatorname{Var}(X).
(c) Calcule P(1<X<2).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x, & 0<x<\sqrt{2},\\\\ 0, & \text{caso contrário} \end{cases}á
e pede: (a) mostrar que f é pdf, (b) calcular E(X) e \operatorname{Var}(X), (c) calcular P(1<X<2).
Conteúdo: variáveis contínuas, propriedades de densidade, cálculo de esperança, variância e probabilidade por integrais.

Passo 2

Para ser pdf, precisamos de f(x)\ge0 e
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{0}^{\sqrt{2}}x\,dx.
\int_{0}^{\sqrt{2}}x\,dx =\left.\frac{1}{2}x^{2}\right|_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{1}{2}(\sqrt{2})^{2} =1.
Logo f\ge0 e se integra a 1, então é função densidade.

Passo 3

Pelo definição
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}x\,f(x)\,dx =\int_{0}^{\sqrt{2}}x\cdot x\,dx =\int_{0}^{\sqrt{2}}x^{2}\,dx =\left.\frac{1}{3}x^{3}\right|_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{1}{3}(\sqrt{2})^{3} =\frac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 4

Primeiro calculamos
E(X^{2}) =\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)\,dx =\int_{0}^{\sqrt{2}}x^{3}\,dx =\left.\frac{1}{4}x^{4}\right|_{0}^{\sqrt{2}} =\frac{1}{4}\,(\sqrt{2})^{4} =1.
Então
\operatorname{Var}(X) =E(X^{2})-\bigl[E(X)\bigr]^{2} =1-\Bigl(\frac{2\sqrt{2}}{3}\Bigr)^{2} =1-\frac{8}{9} =\frac{1}{9}.

Passo 5

Para P(1<X<2) temos suporte até \sqrt{2}\approx1,414, então
P(1<X<2) =\int_{1}^{2}f(x)\,dx =\int_{1}^{\sqrt{2}}x\,dx =\left.\frac{1}{2}x^{2}\right|_{1}^{\sqrt{2}} =\frac{1}{2}\bigl((\sqrt{2})^{2}-1^{2}\bigr) =\frac{1}{2}(2-1) =\frac{1}{2}.

Resposta

(a) f é pdf pois f\ge0 e \int f=1.
(b) E(X)=\tfrac{2\sqrt{2}}{3}, \operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{9}.
(c) P(1<X<2)=\tfrac{1}{2}.

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