Dada a função f(x)=x^2 cdot(x-3)^2 :
Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = x^{2} \cdot (x-3)^{2} $ e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, a gente vai usar o cálculo diferencial, que nos ajuda a entender como as funções mudam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada dessa função, que indica a taxa de variação da função original. A derivada vai nos mostrar onde a função está subindo ou descendo. Para derivar $ f(x) = x^{2} \cdot (x-3)^{2} $, vamos usar a regra do produto.

Passo 3

A regra do produto diz que se você tem duas funções multiplicando, $ u(x) $ e $ v(x) $, a derivada é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $. Então, vamos identificar:
  • $ u(x) = x^{2} $ e $ u’(x) = 2x $
  • $ v(x) = (x-3)^{2} $ e $ v’(x) = 2(x-3) $

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2x cdot (x-3)^2 + x^2 cdot 2(x-3)

Passo 5

Agora, vamos fatorar a expressão para simplificar:
f'(x) = 2(x-3)[ x(x-3) + x^2 ] = 2x(x-3)(2x - 3)

Passo 6

Com a derivada encontrada, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde $ f’(x) = 0 $ ou a derivada não existe. Aqui, a derivada existe para todo $ x $, então igualamos a zero:
f'(x) = 0
Isso nos dá $ x = 0 $, $ x = 3 $ e $ x = \frac{3}{2} $.

Passo 7

Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos:
  1. $ x < 0 $
  2. $ 0 < x < \frac{3}{2} $
  3. $ \frac{3}{2} < x < 3 $
  4. $ x > 3 $
Vamos testar cada intervalo na derivada $ f’(x) $ para ver se é positivo (crescente) ou negativo (decrescente).

Passo 8

Intervalo 1: $ x < 0 $
Escolha $ x = -1 $:
x < 0
Então, a função está decrescente nesse intervalo.

Passo 9

Intervalo 2: $ 0 < x < \frac{3}{2} $
Escolha $ x = 1 $:
0 < x < 32
A função está crescente nesse intervalo.

Passo 10

Intervalo 3: $ \frac{3}{2} < x < 3 $
Escolha $ x = 2 $:
32 < x < 3
A função está decrescente nesse intervalo.

Passo 11

Intervalo 4: $ x > 3 $
Escolha $ x = 4 $:
x > 3
A função está crescente nesse intervalo.

Resposta

A função $ f(x) = x^{2} \cdot (x-3)^{2} $ é:
  • Decrescente para $ x < 0 $ e $ \frac{3}{2} < x < 3 $
  • Crescente para $ 0 < x < \frac{3}{2} $ e $ x > 3 $

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