Dada a função
:
Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente;
Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = x^{2} \cdot (x-3)^{2} $ e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, a gente vai usar o cálculo diferencial, que nos ajuda a entender como as funções mudam.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada dessa função, que indica a taxa de variação da função original. A derivada vai nos mostrar onde a função está subindo ou descendo. Para derivar $ f(x) = x^{2} \cdot (x-3)^{2} $, vamos usar a regra do produto.
Passo 3
A regra do produto diz que se você tem duas funções multiplicando, $ u(x) $ e $ v(x) $, a derivada é $ u’(x)v(x) + u(x)v’(x) $. Então, vamos identificar:
- $ u(x) = x^{2} $ e $ u’(x) = 2x $
- $ v(x) = (x-3)^{2} $ e $ v’(x) = 2(x-3) $
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Passo 5
Agora, vamos fatorar a expressão para simplificar:
Passo 6
Com a derivada encontrada, precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde $ f’(x) = 0 $ ou a derivada não existe. Aqui, a derivada existe para todo $ x $, então igualamos a zero:
Isso nos dá $ x = 0 $, $ x = 3 $ e $ x = \frac{3}{2} $.
Passo 7
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos:
- $ x < 0 $
- $ 0 < x < \frac{3}{2} $
- $ \frac{3}{2} < x < 3 $
- $ x > 3 $
Vamos testar cada intervalo na derivada $ f’(x) $ para ver se é positivo (crescente) ou negativo (decrescente).
Passo 8
Intervalo 1: $ x < 0 $
Escolha $ x = -1 $:
Escolha $ x = -1 $:
Então, a função está decrescente nesse intervalo.
Passo 9
Intervalo 2: $ 0 < x < \frac{3}{2} $
Escolha $ x = 1 $:
Escolha $ x = 1 $:
A função está crescente nesse intervalo.
Passo 10
Intervalo 3: $ \frac{3}{2} < x < 3 $
Escolha $ x = 2 $:
Escolha $ x = 2 $:
A função está decrescente nesse intervalo.
Passo 11
Intervalo 4: $ x > 3 $
Escolha $ x = 4 $:
Escolha $ x = 4 $:
A função está crescente nesse intervalo.
Resposta
A função $ f(x) = x^{2} \cdot (x-3)^{2} $ é:
- Decrescente para $ x < 0 $ e $ \frac{3}{2} < x < 3 $
- Crescente para $ 0 < x < \frac{3}{2} $ e $ x > 3 $