Considere o problema de valor inicial:
4 y^prime prime+12 y^prime+9 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=k

Passo 1

Neste exercício temos um problema de valor inicial para uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes: 4y'' + 12y' + 9y = 0, com y(0)=1 e y'(0)=k. Vamos usar o método da equação característica e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO:
4r^2 + 12r + 9 = 0
Calculamos o discriminante De, o que indica raiz dupla, e encontramos r = -tfrac122cdot4 = -tfrac32.

Passo 3

Como a raiz é dupla ( r=-tfrac32), a solução geral da EDO é dada por
y(t) = (C1 + C2,t),e^-3t/2

Passo 4

Agora determinamos as constantes usando as condições iniciais. Em t=0, y(0)=1 C1=1. Derivando a solução geral:
y'(t) = l(C2 - tfrac32(C1 + C2,t)r)e^-3t/2
e impondo y'(0)=k obtemos C2 - tfrac32C1 = k, logo C2 = k + tfrac32.

Resposta

y(t) = (1 + (k + tfrac32)t)e^-3t/2

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