Dada a função f(x)=x^2 cdot(x-3)^2 :
Encontre os valores máximos e mínimos locais;

Passo 1

Beleza, vamos ajudar você a encontrar os valores máximos e mínimos locais da função $ f(x) = x^{2} \cdot (x - 3)^{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a identificar esses pontos importantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, como $ f(x) $ está mudando em relação a $ x $. Vamos calcular $ f’(x) $.
A função é $ f(x) = x^{2} \cdot (x - 3)^{2} $. Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = ddx(x^2) cdot (x - 3)^2 + x^2 cdot ddx((x - 3)^2)
Calculando as derivadas individuais:
ddx(x^2) = 2x
ddx((x - 3)^2) = 2(x - 3) cdot 1 = 2(x - 3)
Substituindo de volta na expressão:
f'(x) = 2x cdot (x - 3)^2 + x^2 cdot 2(x - 3)

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
f'(x) = 2x(x - 3)^2 + 2x^2(x - 3)
Podemos fatorar $ 2x(x - 3) $ dos dois termos:
2x(x - 3)

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou não existe, vamos resolver:
2x(x - 3)(2x - 3) = 0
Isso nos dá três soluções:
  1. $ 2x = 0 $ → $ x = 0 $
  2. $ x - 3 = 0 $ → $ x = 3 $
  3. $ 2x - 3 = 0 $ → $ x = \frac{3}{2} $

Passo 6

Agora, precisamos determinar se cada um desses pontos críticos é um máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor dos pontos críticos. Vamos optar por analisar o sinal da primeira derivada.

Passo 7

Escolhemos valores de $ x $ próximos aos pontos críticos e verificamos o sinal de $ f’(x) $:
  1. Para $ x = 0 $:
    • Quando $ x < 0 $, digamos $ x = -1 $: x
    • Quando $ x > 0 $, digamos $ x = 1 $: f'(x)
    • A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em $ x = 0 $.
  2. Para $ x = \frac{3}{2} $:
    • Quando $ x < \frac{3}{2} $, digamos $ x = 1 $: x = 0
    • Quando $ x > \frac{3}{2} $, digamos $ x = 2 $: x < 0
    • A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local em $ x = \frac{3}{2} $.
  3. Para $ x = 3 $:
    • Quando $ x < 3 $, digamos $ x = 2 $: x = -1
    • Quando $ x > 3 $, digamos $ x = 4 $: f'(-1) = 2(-1)(-1 - 3)(2(-1) - 3) = 2(-1)(-4)(-5) = -40 < 0
    • A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em $ x = 3 $.

Resposta

A função $ f(x) = x^{2} \cdot (x - 3)^{2} $ possui:
  • Um mínimo local em $ x = 0 $.
  • Um máximo local em $ x = \frac{3}{2} $.
  • Um mínimo local em $ x = 3 $.

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