Dada a função
:
Encontre os valores máximos e mínimos locais;
Encontre os valores máximos e mínimos locais;
Passo 1
Beleza, vamos ajudar você a encontrar os valores máximos e mínimos locais da função $ f(x) = x^{2} \cdot (x - 3)^{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada da função, que nos ajuda a identificar esses pontos importantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos diz a taxa de variação da função, ou seja, como $ f(x) $ está mudando em relação a $ x $. Vamos calcular $ f’(x) $.
A função é $ f(x) = x^{2} \cdot (x - 3)^{2} $. Para derivar essa função, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de duas funções multiplicadas é a primeira função vezes a derivada da segunda mais a segunda função vezes a derivada da primeira.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas individuais:
Substituindo de volta na expressão:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
Podemos fatorar $ 2x(x - 3) $ dos dois termos:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou não existe, vamos resolver:
Isso nos dá três soluções:
- $ 2x = 0 $ → $ x = 0 $
- $ x - 3 = 0 $ → $ x = 3 $
- $ 2x - 3 = 0 $ → $ x = \frac{3}{2} $
Passo 6
Agora, precisamos determinar se cada um desses pontos críticos é um máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou analisar o sinal da primeira derivada ao redor dos pontos críticos. Vamos optar por analisar o sinal da primeira derivada.
Passo 7
Escolhemos valores de $ x $ próximos aos pontos críticos e verificamos o sinal de $ f’(x) $:
-
Para $ x = 0 $:
- Quando $ x < 0 $, digamos $ x = -1 $:
- Quando $ x > 0 $, digamos $ x = 1 $:
- A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em $ x = 0 $.
- Quando $ x < 0 $, digamos $ x = -1 $:
-
Para $ x = \frac{3}{2} $:
- Quando $ x < \frac{3}{2} $, digamos $ x = 1 $:
- Quando $ x > \frac{3}{2} $, digamos $ x = 2 $:
- A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local em $ x = \frac{3}{2} $.
- Quando $ x < \frac{3}{2} $, digamos $ x = 1 $:
-
Para $ x = 3 $:
- Quando $ x < 3 $, digamos $ x = 2 $:
- Quando $ x > 3 $, digamos $ x = 4 $:
- A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local em $ x = 3 $.
- Quando $ x < 3 $, digamos $ x = 2 $:
Resposta
A função $ f(x) = x^{2} \cdot (x - 3)^{2} $ possui:
- Um mínimo local em $ x = 0 $.
- Um máximo local em $ x = \frac{3}{2} $.
- Um mínimo local em $ x = 3 $.