Dada a função
definida por
, determinar se ela é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes:
. O exercício pede pra gente descobrir se essa função é contínua em $ x = -1 $. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se uma função é contínua num ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua num ponto. Basicamente, uma função é contínua em $ x = a $ se três condições forem atendidas:
- A função está definida em $ x = a $.
- O limite da função quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
- O limite é igual ao valor da função em $ a $.
Então, pra ver se $ f(x) $ é contínua em $ x = -1 $, a gente precisa checar essas três condições.
Passo 3
Vamos começar com a primeira condição: a função está definida em $ x = -1 $? Olhando a definição da função, para $ x \leq 2 $ e $ x \neq -1 $, a função é $ x^2 - 1 $. Ou seja, quando $ x = -1 $, a função não está definida porque há a condição $ x \neq -1 $. Isso já nos dá uma pista.
Passo 4
Mas vamos continuar e verificar as outras condições. Mesmo que a função não esteja definida em $ x = -1 $, é bom ver o que acontece com os limites. O limite à esquerda de $ x = -1 $ seria usando $ x^2 - 1 $ (já que $ x \leq 2 $), então:
E o limite à direita também usa $ x^2 - 1 $:
Portanto, o limite geral existe e é igual a 0.
Passo 5
Agora, segundo a terceira condição, o limite deve ser igual ao valor da função em $ x = -1 $. Mas como vimos, a função não está definida em $ x = -1 $. Já que não temos um valor para comparar com o limite, essa condição não é satisfeita.
Passo 6
Resumindo tudo: a função não está definida em $ x = -1 $, mesmo que o limite exista. Portanto, a função não pode ser contínua nesse ponto.
Resposta
A função $ f(x) $ não é contínua em $ x = -1 $ porque não está definida nesse ponto.