Problema 3. A equação abaixo é da forma
. Esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique a sua estabilidade. Esboce e discuta qualitativamente o comportamento das soluções em termos das condições iniciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial da forma $ y’ = f(y) $, onde $ f(y) = -y(1 - 3y)(1 - 2y) $. Nosso objetivo é:
- Desenhar o gráfico de $ f(y) $ em função de $ y $.
- Encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ y $ onde $ y’ = 0 $.
- Verificar se esses pontos são estáveis ou instáveis.
- Desenhar e discutir como as soluções se comportam dependendo das condições iniciais.
Para isso, vamos precisar entender conceitos como pontos de equilíbrio, estabilidade e como esboçar gráficos de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os valores de $ y $ onde $ y’ = 0 $. Então, igualamos $ f(y) $ a zero:
Para essa equação ser igual a zero, pelo menos um dos fatores precisa ser zero. Assim, resolvemos cada fator:
- $ -y = 0 $ ⇒ $ y = 0 $
- $ 1 - 3y = 0 $ ⇒ $ y = \frac{1}{3} $
- $ 1 - 2y = 0 $ ⇒ $ y = \frac{1}{2} $
Então, os pontos críticos são $ y = 0 $, $ y = \frac{1}{3} $ e $ y = \frac{1}{2} $.
Passo 3
Agora, vamos desenhar o gráfico de $ f(y) = -y(1 - 3y)(1 - 2y) $. Essa é uma função polinomial de terceiro grau, então sabemos que seu gráfico será uma curva contínua que vai do infinito negativo ao positivo (ou vice-versa).
Para esboçar o gráfico, vamos analisar alguns pontos:
- Interceptos: Já sabemos que $ f(y) = 0 $ quando $ y = 0 $, $ y = \frac{1}{3} $, e $ y = \frac{1}{2} $.
- Sinais: Vamos verificar o sinal de $ f(y) $ entre esses pontos para entender se a função está subindo ou descendo.
Vamos testar valores em cada intervalo:
- Para $ y < 0 $: Vamos pegar $ y = -1 $.
- Para $ 0 < y < \frac{1}{3} $: Vamos pegar $ y = \frac{1}{6} $.
- Para $ \frac{1}{3} < y < \frac{1}{2} $: Vamos pegar $ y = \frac{2}{5} $.
- Para $ y > \frac{1}{2} $: Vamos pegar $ y = 1 $.
Com isso, conseguimos traçar o gráfico de $ f(y) $ com base nos sinais nos diferentes intervalos.
Passo 4
Agora, vamos classificar a estabilidade dos pontos críticos. Para isso, observamos como $ f(y) $ se comporta ao redor de cada ponto crítico:
-
Em $ y = 0 $:
- Para $ y < 0 $, $ f(y) > 0 $ ⇒ as soluções aumentam.
- Para $ y > 0 $, $ f(y) < 0 $ ⇒ as soluções diminuem.
- Como as soluções se afastam de $ y = 0 $ quando nos aproximamos dele, $ y = 0 $ é um ponto crítico instável.
-
Em $ y = \frac{1}{3} $:
- Para $ y < \frac{1}{3} $, $ f(y) < 0 $ ⇒ as soluções diminuem.
- Para $ y > \frac{1}{3} $, $ f(y) > 0 $ ⇒ as soluções aumentam.
- As soluções se aproximam de $ y = \frac{1}{3} $ de ambos os lados, então $ y = \frac{1}{3} $ é um ponto crítico estável.
-
Em $ y = \frac{1}{2} $:
- Para $ y < \frac{1}{2} $, $ f(y) > 0 $ ⇒ as soluções aumentam.
- Para $ y > \frac{1}{2} $, $ f(y) < 0 $ ⇒ as soluções diminuem.
- Assim como $ y = \frac{1}{3} $, as soluções se aproximam de $ y = \frac{1}{2} $ de ambos os lados, logo $ y = \frac{1}{2} $ é um ponto crítico estável.
Passo 5
Por último, vamos discutir qualitativamente o comportamento das soluções dependendo das condições iniciais:
- Para $ y < 0 $: Como $ f(y) > 0 $, as soluções aumentam, mas como $ y = 0 $ é instável, elas continuarão aumentando sem se estabilizar.
- Entre $ 0 $ e $ \frac{1}{3} $: Com $ f(y) < 0 $, as soluções diminuem em direção a $ y = \frac{1}{3} $, que é estável.
- Entre $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{1}{2} $: Aqui, $ f(y) > 0 $, então as soluções aumentam até atingirem $ y = \frac{1}{2} $, também estável.
- Para $ y > \frac{1}{2} $: Como $ f(y) < 0 $, as soluções diminuem em direção a $ y = \frac{1}{2} $.
Isso significa que, dependendo de onde começa a solução, ela vai se aproximar de $ \frac{1}{3} $ ou de $ \frac{1}{2} $, ou continuar aumentando se começar abaixo de $ 0 $.
Resposta
Os pontos críticos são $ y = 0 $ (instável), $ y = \frac{1}{3} $ e $ y = \frac{1}{2} $ (ambos estáveis). O gráfico de $ f(y) $ mostra que soluções iniciando abaixo de $ 0 $ aumentam indefinidamente, entre $ 0 $ e $ \frac{1}{3} $ diminuem para $ \frac{1}{3} $, entre $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{1}{2} $ aumentam para $ \frac{1}{2} $, e acima de $ \frac{1}{2} $ diminuem para $ \frac{1}{2} $. Assim, as soluções tendem a se estabilizar em $ \frac{1}{3} $ ou $ \frac{1}{2} $ dependendo das condições iniciais.