Questão-02 Derive as funções usando regras de derivação
f(x)=\ln \left(\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\ln\!\left(\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\right).
Informações dadas: a expressão dentro do log é a função \dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}. O objetivo é calcular f'(x), a derivada de f em função de x. Nada mais foi pedido.

Passo 2

Uma identidade muito útil para logaritmos é
\ln\!\left(\frac{A}{B}\right)=\ln(A)-\ln(B),
válida sempre que A>0 e B>0. Aqui podemos aplicar essa propriedade com A=e^{x} e B=1+e^{x}. Aplicando:
f(x)=\ln(e^{x})-\ln(1+e^{x}).
Explicando: se você tem o log de um quociente, pode separar em diferença de logs — isso costuma simplificar derivadas.

Passo 3

Outra observação simples: \ln(e^{x})=x, porque logaritmo natural e exponencial são funções inversas. Então
f(x)=x-\ln(1+e^{x}).
Agora a função está escrita como soma/diferença de termos mais fáceis de derivar.

Passo 4

Derivamos termo a termo. A derivada de \,x\, é 1. Para derivar \ln(1+e^{x}) usamos a regra geral:
\text{se }g(x)=\ln(u(x))\text{ então }g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.ã
Isto é a aplicação da regra da cadeia: derivamos o log (resultado 1/u) e multiplicamos pela derivada da função interna u(x).

Passo 5

No nosso caso, u(x)=1+e^{x}. Calculamos u'(x)=e^{x} (porque a derivada de e^{x} é e^{x}). Portanto
\frac{d}{dx}\big(\ln(1+e^{x})\big)=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.
Assim
f'(x)=1-\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.

Passo 6

Agora simplificamos a expressão. Colocamos 1 sobre o mesmo denominador 1+e^{x}:
1=\frac{1+e^{x}}{1+e^{x}}.
Então
f'(x)=\frac{1+e^{x}}{1+e^{x}}-\frac{e^{x}}{1+e^{x}}=\frac{1+e^{x}-e^{x}}{1+e^{x}}=\frac{1}{1+e^{x}}.
Pronto — chegamos a uma forma bem simples.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, para você ganhar confiança): se tivéssemos aplicado direto a regra da cadeia com v(x)=\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}} e f(x)= \ln(v(x)), usaríamos a regra do quociente para v'(x):
v'(x)=\frac{e^{x}(1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}=\frac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}.
Então
f'(x)=\frac{v'(x)}{v(x)}=\frac{\dfrac{e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}{\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}}=\frac{1}{1+e^{x}},
mesma resposta. Eu escolhi simplificar primeiro porque é mais rápido e com menos contas — na prova isso economiza tempo.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{1+e^{x}}

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