Questão-02 Derive as funções usando regras de derivação
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
Informações dadas: a expressão dentro do log é a função
. O objetivo é calcular
, a derivada de
em função de
. Nada mais foi pedido.
Passo 2
Uma identidade muito útil para logaritmos é
válida sempre que
e
. Aqui podemos aplicar essa propriedade com
e
. Aplicando:
Explicando: se você tem o log de um quociente, pode separar em diferença de logs — isso costuma simplificar derivadas.
Passo 3
Outra observação simples:
, porque logaritmo natural e exponencial são funções inversas. Então
Agora a função está escrita como soma/diferença de termos mais fáceis de derivar.
Passo 4
Derivamos termo a termo. A derivada de
é
. Para derivar
usamos a regra geral:
Isto é a aplicação da regra da cadeia: derivamos o log (resultado
) e multiplicamos pela derivada da função interna
.
Passo 5
No nosso caso,
. Calculamos
(porque a derivada de
é
). Portanto
Assim
Passo 6
Agora simplificamos a expressão. Colocamos
sobre o mesmo denominador
:
Então
Pronto — chegamos a uma forma bem simples.
Passo 7
Verificação alternativa (opcional, para você ganhar confiança): se tivéssemos aplicado direto a regra da cadeia com
e f(x)=
, usaríamos a regra do quociente para
:
Então
mesma resposta. Eu escolhi simplificar primeiro porque é mais rápido e com menos contas — na prova isso economiza tempo.