Dada a função f(x)=2 x^3-3 x^2, determine:
Os limites da função dada para x +infty e x -infty.

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites de f(x)=2 x^{3}−3 x^{2} quando x→+∞ e quando x→−∞. O conteúdo é limites no infinito para funções polinomiais, e vamos usar que o termo de maior grau domina o comportamento de f(x) no infinito.

Passo 2

Para polinômios, o termo de maior grau é responsável pelo comportamento no infinito. Mais precisamente, se f(x)=a_n x^n+…+a_0, então quando |x|→∞ a parcela a_n x^n “domina” as outras parcelas de grau menor.

Passo 3

Vamos fatorar f(x) para expor o termo dominante:
f(x)=2x^3-3x^2=x^3l(2-3xr)

Passo 4

Quando x→+∞, temos 3xto0 e x^3to+infty. Então f(x)approx2x^3 e, consequentemente, f(x)to+infty.

Passo 5

Usando a mesma expressão, quando x→−∞, ainda vale 2-tfrac3xto2, mas agora x^3to-infty (porque a potência ímpar de um número negativo é negativa). Assim, f(x)approx2cdot(-infty)=-infty.

Resposta

limxto+inftyf(x)=+infty e limxto-inftyf(x)=-infty.

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