Seja
o sólido que está entre os cilindros circulares
e
, abaixo do parabolóide
e asima do plano
.
Calcule o volume de
.
Calcule o volume de
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido E que fica entre os cilindros x²+y²=1 e x²+y²=4, abaixo do paraboloide z=1+x²+y² e acima do plano z=0. O tema aqui é cálculo de volume por integração tripla, e vamos usar coordenadas cilíndricas para aproveitar a simetria em torno do eixo z.
Passo 2
Podemos usar coordenadas cilíndricas definidas por x = r
cosθ, y = r
sinθ e z = z. Nesse sistema o elemento de volume é dV = r
dz
dr
dθ, e as equações x²+y²=1 e x²+y²=4 viram r=1 e r=2.
cosθ, y = r
sinθ e z = z. Nesse sistema o elemento de volume é dV = r
dz
dr
dθ, e as equações x²+y²=1 e x²+y²=4 viram r=1 e r=2.
Passo 3
O volume V é então dado por:
Passo 4
Primeiro integramos em z:
Passo 5
Em seguida, integramos em r:
Passo 6
Finalmente, integramos em θ: