Seja E o sólido que está entre os cilindros circulares x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, abaixo do parabolóide z=1+x^2+y^2 e asima do plano z=0.
Calcule o volume de E.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido E que fica entre os cilindros x²+y²=1 e x²+y²=4, abaixo do paraboloide z=1+x²+y² e acima do plano z=0. O tema aqui é cálculo de volume por integração tripla, e vamos usar coordenadas cilíndricas para aproveitar a simetria em torno do eixo z.

Passo 2

Podemos usar coordenadas cilíndricas definidas por x = r
cosθ, y = r
sinθ e z = z. Nesse sistema o elemento de volume é dV = r
dz
dr
dθ, e as equações x²+y²=1 e x²+y²=4 viram r=1 e r=2.

Passo 3

O volume V é então dado por:
V=integralθ=0^2πintegralr=1^2integralz=0^1+r^2r,dz,dr,dθ

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integral0^1+r^2r,dz = rl[zr]0^1+r^2 = r(1+r^2)

Passo 5

Em seguida, integramos em r:
integral1^2r(1+r^2),dr = integral1^2(r + r^3),dr = l[r^22 + r^44r]1^2 = 214

Passo 6

Finalmente, integramos em θ:
V=integral0^2π214,dθ = 214l[θr]0^2π = 214cdot 2π = 21π2

Resposta

V = 21pi2

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