sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k

Passo 1

O exercício pede para calcular a série infinita sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k. O conteúdo é soma de séries geométricas, e vamos usar a fórmula da soma sumk=1^infty a1,r^k-1=a11-r, bem como a forma generalizada sumk=1^infty ar^k=ar1-r.

Passo 2

Primeiro a gente separa a soma em duas séries independentes:
sumk=1^infty 2^k-25^k
sumk=1^infty 3^k+15^k
Na primeira série note que
2^k-25^k=14;2^k5^k=14l(25r)^k
Isso é uma série geométrica com primeiro termo a1=tfrac14(tfrac25) e razão r=tfrac25. Aplicando sumk=1^infty ar^k=tfracar1-r
14;tfrac251-tfrac25=14;2/53/5=14;23=16

Passo 3

Na segunda série temos
3^k+15^k=3;3^k5^k=3l(35r)^k,
que é geométrica com a1=3(tfrac35) e razão r=tfrac35. Logo
$$
3;\frac{\tfrac{3}{5}}{1-\tfrac{3}{5}}=3;\frac{3/5}{2/5}=3;\frac{3}{2}=\frac{9}{2}.
$$

Passo 4

Finalmente somamos as duas parcelas:
16+92=1+276=286=143

Resposta

143

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