sumk=0^infty 2^2 k3^3 k

Passo 1

A questão quer a soma da série infinita sumk=0^infty 2^2k3^3k. O conteúdo é séries geométricas infinitas e vamos precisar da fórmula de soma sumk=0^infty r^k = 11-r para |r|<1.

Passo 2

Precisamos reescrever o termo geral da série como uma potência de uma razão r. Observe que
2^2k3^3k = (2^23^3)^k = (427)^k
Logo, a série fica sumk=0^infty l(tfrac427r)^k. Aqui r=tfrac427 e como |r|<1, a soma converge.

Passo 3

Aplicando a fórmula de soma de séries geométricas:
sumk=0^infty r^k = 11-r,
substituindo r=tfrac427:
sumk=0^infty l(tfrac427r)^k = 11 - tfrac427 = 1tfrac27-427 = 2723

Resposta

tfrac2723

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