Dada a função f(x)=2 x^3-3 x^2, determine:
O(s) intervalo(s) de crescimento e decrescimento da função.

Passo 1

A função dada é f(x)=2x³−3x². O que precisamos fazer é usar derivada para achar onde f cresce (f′>0) e onde decresce (f′<0).

Passo 2

Calculamos a derivada usando regra de potência:
f'(x)=ddx(2x^3)-ddx(3x^2)=6x^2-6x

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f’(x)=0:
6x^2-6x=6x(x-1)=0
que dá x=0 e x=1.

Passo 4

Fazemos o estudo de sinal de f’(x)=6x(x-1) nos intervalos criados pelos pontos críticos:
Intervalo (-∞,0): escolhemos x=-1 ⇒ f’(-1)=6·(-1)·(-2)>0.
Intervalo (0,1): escolhemos x=0.5 ⇒ f’(0.5)=6·0.5·(-0.5)<0.
Intervalo (1,∞): escolhemos x=2 ⇒ f’(2)=6·2·1>0.

Passo 5

Como f’(x)>0 em (-∞,0) e em (1,∞), a função é crescente nesses intervalos. Como f’(x)<0 em (0,1), a função é decrescente aí.

Resposta

Crescente em (-∞,0) e (1,∞); decrescente em (0,1).

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