Dada a função
, determine:
intervalo(s) de crescimento e decrescimento da função.
Passo 1
A função dada é f(x)=2x³−3x². O que precisamos fazer é usar derivada para achar onde f cresce (f′>0) e onde decresce (f′<0).
Passo 2
Calculamos a derivada usando regra de potência:
Passo 3
Encontramos os pontos críticos resolvendo f’(x)=0:
que dá x=0 e x=1.
Passo 4
Fazemos o estudo de sinal de f’(x)=6x(x-1) nos intervalos criados pelos pontos críticos:
Intervalo (-∞,0): escolhemos x=-1 ⇒ f’(-1)=6·(-1)·(-2)>0.
Intervalo (0,1): escolhemos x=0.5 ⇒ f’(0.5)=6·0.5·(-0.5)<0.
Intervalo (1,∞): escolhemos x=2 ⇒ f’(2)=6·2·1>0.
Intervalo (-∞,0): escolhemos x=-1 ⇒ f’(-1)=6·(-1)·(-2)>0.
Intervalo (0,1): escolhemos x=0.5 ⇒ f’(0.5)=6·0.5·(-0.5)<0.
Intervalo (1,∞): escolhemos x=2 ⇒ f’(2)=6·2·1>0.
Passo 5
Como f’(x)>0 em (-∞,0) e em (1,∞), a função é crescente nesses intervalos. Como f’(x)<0 em (0,1), a função é decrescente aí.
Resposta
Crescente em (-∞,0) e (1,∞); decrescente em (0,1).