Dada a função f(x)=2 x^3-3 x^2, determine:
O(s) ponto(s) de Inflexão, caso existam.

Passo 1

Estamos com a função f(x)=2 x^3 - 3 x^2; o tema é ponto de inflexão, e para isso precisamos usar a segunda derivada f’’(x) e verificar onde ela zera e troca de sinal.

Passo 2

Calcule a primeira derivada e a segunda derivada.
A primeira derivada é
f'(x)=ddx(2x^3-3x^2)=6x^2-6x=6x(x-1)
A segunda derivada é
f''(x)=ddx(6x^2-6x)=12x-6

Passo 3

Encontre os candidatos a ponto de inflexão resolvendo f’’(x)=0 e confirme troca de concavidade.
Resolvendo
12x-6=0implies x=tfrac12
Para x<1/2, f’’(x)<0 (concavidade para baixo) e para x>1/2, f’’(x)>0 (concavidade para cima), então há mudança de sinal em x=1/2.

Passo 4

Determine a coordenada y do ponto de inflexão calculando f(1/2):
fl(tfrac12r)=2l(tfrac12r)^3-3l(tfrac12r)^2=2cdottfrac18-3cdottfrac14=tfrac14-tfrac34=-tfrac12
Logo o ponto de inflexão é (1/2, -1/2).

Resposta

O ponto de inflexão é l(tfrac12,-tfrac12r).

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