Derive as seguintes funções.
;
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
f(x)=ln\biggl(\sqrt{\frac{x{2}-1}{x{2}+5}}\biggr).
O conteúdo envolve derivada de logaritmo, regra da cadeia e propriedades de logaritmo. Vamos precisar usar a identidade de raiz no log e a propriedade ln(a/b)=ln a−ln b.
Passo 2
Primeiro a gente simplifica o logaritmo da raiz usando
. Assim,
f(x)=\frac12\ln\biggl(\frac{x{2}-1}{x{2}+5}\biggr).
Passo 3
Em seguida aplicamos ln de quociente:
f(x)=\frac12\Bigl[\ln(x{2}-1)-\ln(x{2}+5)\Bigr].
Passo 4
Agora derivamos termo a termo. Sabendo que
e que
, temos:
f’(x)=\frac12\Bigl[\frac{2x}{x{2}-1}-\frac{2x}{x{2}+5}\Bigr].
Passo 5
Finalmente simplificamos. Fatorando 2 em cada fração e reduzindo com o
:
f’(x)=\frac{x}{x{2}-1}-\frac{x}{x{2}+5}.
Juntando em um único denominador:
Portanto,
Passo 6
Rearranjando o fator 6 em 2·3 e lembrando que já aplicamos o 1/2, chegamos a
Passo 7
f’(x)=\frac{3x}{(x{2}-1)(x{2}+5)}.