Derive as seguintes funções.
f(x)=ln (raizx^2-1x^2+5);

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=ln\biggl(\sqrt{\frac{x{2}-1}{x{2}+5}}\biggr).
O conteúdo envolve derivada de logaritmo, regra da cadeia e propriedades de logaritmo. Vamos precisar usar a identidade de raiz no log e a propriedade ln(a/b)=ln a−ln b.

Passo 2

Primeiro a gente simplifica o logaritmo da raiz usando lnraizu=tfrac12ln u. Assim,
f(x)=\frac12\ln\biggl(\frac{x{2}-1}{x{2}+5}\biggr).

Passo 3

Em seguida aplicamos ln de quociente:
f(x)=\frac12\Bigl[\ln(x{2}-1)-\ln(x{2}+5)\Bigr].

Passo 4

Agora derivamos termo a termo. Sabendo que ddxln(g(x))=g'(x)g(x) e que ddx(x^2±c)=2x, temos:
f’(x)=\frac12\Bigl[\frac{2x}{x{2}-1}-\frac{2x}{x{2}+5}\Bigr].

Passo 5

Finalmente simplificamos. Fatorando 2 em cada fração e reduzindo com o tfrac12:
f’(x)=\frac{x}{x{2}-1}-\frac{x}{x{2}+5}.
Juntando em um único denominador:
f'(x)=x(x^2+5)-x(x^2-1)(x^2-1)(x^2+5)=6x(x^2-1)(x^2+5)
Portanto,

Passo 6

Rearranjando o fator 6 em 2·3 e lembrando que já aplicamos o 1/2, chegamos a

Passo 7

f’(x)=\frac{3x}{(x{2}-1)(x{2}+5)}.

Resposta

f'(x)=dfrac3x(x^2-1)(x^2+5)

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