Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos.
sumn=1^infty n!n^n

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo da Matéria
O exercício nos pede para usar os testes da razão ou da raiz para determinar se a série
sumn=1^infty n!n^n
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam esses testes e aplicar um deles à série apresentada.

Passo 2

Escolhendo o Teste da Razão
Vamos optar pelo teste da razão, que é muito útil para séries envolvendo fatoriais. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento da série ao analisar a razão entre termos consecutivos.
O que é o Teste da Razão?
O teste da razão afirma que, para uma série sum an, se
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão à Série
Vamos calcular a razão entre o termo an+1 e an:
an = n!n^n
Agora, calculamos a razão:
an+1 = (n+1)!(n+1)^n+1 = (n+1) cdot n!(n+1)^n+1 = n!(n+1)^n

Passo 4

Calculando o Limite da Razão
Precisamos encontrar:
L = limn to infty ( nn+1 )^n
Podemos reescrever a expressão dentro do limite:
( nn+1 )^n = (1 - 1n+1)^n
Sabemos que:
limn to infty (1 - 1n)^n = 1e approx 0,3679
Portanto,
L = 1e < 1

Resposta

Como o limite L = 1e é menor que 1, segundo o teste da razão, a série sumn=1^infty n!n^n converge.

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