Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita: . O objetivo é determinar se essa série converge ou diverge usando o teste da razão ou o teste da raiz. Para isso, vamos precisar lembrar como esses testes funcionam e aplicá-los passo a passo.
Passo 2
Vamos começar com o teste da razão. Esse teste é útil para séries onde os termos envolvem potências ou fatoriais. A ideia é calcular o limite do quociente entre o termo seguinte e o termo atual, ou seja:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, ela diverge; e se L = 1, o teste não consegue conclusões.
Passo 3
Vamos aplicar o teste da razão na nossa série. Primeiro, identificamos an = n5^n. Então, an+1 = n+15^n+1.
Agora, calculamos o limite:
L = limn to infty | n+15^n+1n5^n | = limn to infty | n+15^n+1 cdot 5^nn | = limn to infty | n+15n | = limn to infty ( n+15n )
Simplificando a fração:
n+15n = n5n + 15n = 15 + 15n
Então:
L = limn to infty ( 15 + 15n ) = 15 + 0 = 15
Passo 4
Agora que temos L = 15, que é menor que 1, segundo o teste da razão, isso significa que a série sumn=1^infty n5^nconverge.
Resposta
A série sumn=1^infty n5^n converge pelo teste da razão, já que o limite L = 15 < 1.