Determine os valores de K para que o domínio da função f dada por f(x)=\log \left(x^{2}+K x+K\right) seja o conjunto dos números reais.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que temos:
  • A função é f(x)=\log\!\left(x^{2}+K x+K\right).
  • O enunciado pede: determinar os valores de K tais que o domínio de f seja o conjunto dos números reais (ou seja, para todo x\in\mathbb{R} a expressão dentro do log existe e é válida).
  • Informação implícita importante que pegamos do enunciado: o log natural (ou qualquer log base >0 e \neq1) exige que o argumento seja estritamente positivo; portanto devemos ter x^{2}+K x+K>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Entendendo a condição do domínio: para que o log esteja definido para todo x\in\mathbb{R} precisamos que a função quadrática
q(x)=x^{2}+Kx+K
seja estritamente positiva para todo x\in\mathbb{R}. Vou explicar devagar por que isso é necessário e suficiente.
Explicação do conceito usado: a função logaritmo exige argumento estritamente positivo. Portanto o domínio de f é o conjunto dos x tais que q(x)>0. Queremos que esse conjunto seja todo \mathbb{R}, isto é, não pode haver x com q(x)\le 0. Como q é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder 1>0, seu gráfico é uma parábola com concavidade para cima. Para que uma parábola com concavidade para cima seja positiva para todo x, ela não pode ter raízes reais (ou seja, não pode tocar o eixo x) — assim o valor mínimo da parábola fica acima de zero.

Passo 3

Apresentando o critério técnico: para uma quadrática ax^{2}+bx+c com a>0, a condição necessária e suficiente para que ela seja estritamente positiva para todo x\in\mathbb{R} é que o discriminante seja negativo:
\Delta=b^{2}-4ac < 0.
Aqui isso se aplica com a=1, b=K e c=K. Vou explicar o que é o discriminante: \Delta indica se a equação quadrática ax^{2}+bx+c=0 tem raízes reais ( \Delta\ge0) ou não ( \Delta<0). Se não há raízes reais e a>0, a parábola fica sempre acima do eixo x.

Passo 4

Calcular o discriminante para a nossa quadrática: com a=1, b=K, c=K,
\Delta=K^{2}-4\cdot1\cdot K=K^{2}-4K.
Impor \Delta<0 leva à desigualdade
K^{2}-4K<0.
Vou resolver essa desigualdade passo a passo.

Passo 5

Resolver K^{2}-4K<0. Factorizando:
K^{2}-4K=K(K-4).
A inequação K(K-4)<0 significa que os fatores têm sinais opostos. Isso ocorre quando K está entre as raízes 0 e 4. Portanto
0<K<4.
Interpretação: somente para K estritamente entre 0 e 4 a discriminante é negativa e, com a=1>0, a quadrática é estritamente positiva para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Verificação alternativa (mais intuitiva) por completamento do quadrado: isso ajuda a ver diretamente o valor mínimo da quadrática. Escrevemos
x^{2}+Kx+K=\left(x+\frac{K}{2}\right)^{2}+\left(K-\frac{K^{2}}{4}\right).
O termo \left(x+\dfrac{K}{2}\right)^{2} é sempre \ge0, então o mínimo de q(x) é exatamente o segundo termo:
\min_{x\in\mathbb{R}} q(x)=K-\frac{K^{2}}{4}=\frac{4K-K^{2}}{4}=\frac{K(4-K)}{4}.
Para que q(x)>0 para todo x, precisamos que esse mínimo seja positivo:
\frac{K(4-K)}{4}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad K(4-K)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<K<4.
Chegamos à mesma condição. Essa verificação também mostra por que K=0 ou K=4 são excluídos: nesses casos o mínimo seria 0, fazendo com que exista x com q(x)=0, e o log não estaria definido nesses x.

Passo 7

Conclusão final e incentivo: portanto os valores de K que garantem que x^{2}+Kx+K>0 para todo x\in\mathbb{R} são exatamente os valores com
0<K<4.
Parabéns — essa é uma questão clássica de domínio envolvendo quadrática dentro de log. Se quiser, eu posso desenhar a parábola para alguns valores de K (por exemplo K=-1,\,K=2,\,K=5) para você ver concretamente por que só 0<K<4 funciona. Vai dar confiança para a prova!

Resposta

0<K<4

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