Determine os valores de
para que o domínio da função
dada por
seja o conjunto dos números reais.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações que temos:
- A função é
. - O enunciado pede: determinar os valores de
tais que o domínio de seja o conjunto dos números reais (ou seja, para todo a expressão dentro do log existe e é válida). - Informação implícita importante que pegamos do enunciado: o log natural (ou qualquer log base
e ) exige que o argumento seja estritamente positivo; portanto devemos ter para todo .
Passo 2
Entendendo a condição do domínio: para que o log esteja definido para todo
precisamos que a função quadrática
seja estritamente positiva para todo
. Vou explicar devagar por que isso é necessário e suficiente.
Explicação do conceito usado: a função logaritmo exige argumento estritamente positivo. Portanto o domínio de
é o conjunto dos
tais que
. Queremos que esse conjunto seja todo
, isto é, não pode haver
com
. Como
é um polinômio de grau
com coeficiente líder
, seu gráfico é uma parábola com concavidade para cima. Para que uma parábola com concavidade para cima seja positiva para todo
, ela não pode ter raízes reais (ou seja, não pode tocar o eixo
) — assim o valor mínimo da parábola fica acima de zero.
Passo 3
Apresentando o critério técnico: para uma quadrática
com
, a condição necessária e suficiente para que ela seja estritamente positiva para todo
é que o discriminante seja negativo:
Aqui isso se aplica com
,
e
. Vou explicar o que é o discriminante:
indica se a equação quadrática
tem raízes reais (
) ou não (
). Se não há raízes reais e
, a parábola fica sempre acima do eixo
.
Passo 4
Calcular o discriminante para a nossa quadrática: com
,
,
,
Impor
leva à desigualdade
Vou resolver essa desigualdade passo a passo.
Passo 5
Resolver
. Factorizando:
A inequação
significa que os fatores têm sinais opostos. Isso ocorre quando
está entre as raízes
e
. Portanto
Interpretação: somente para
estritamente entre
e
a discriminante é negativa e, com
, a quadrática é estritamente positiva para todo
.
Passo 6
Verificação alternativa (mais intuitiva) por completamento do quadrado: isso ajuda a ver diretamente o valor mínimo da quadrática. Escrevemos
O termo
é sempre
, então o mínimo de
é exatamente o segundo termo:
Para que
para todo
, precisamos que esse mínimo seja positivo:
Chegamos à mesma condição. Essa verificação também mostra por que
ou
são excluídos: nesses casos o mínimo seria
, fazendo com que exista
com
, e o log não estaria definido nesses
.
Passo 7
Conclusão final e incentivo: portanto os valores de
que garantem que
para todo
são exatamente os valores com
Parabéns — essa é uma questão clássica de domínio envolvendo quadrática dentro de log. Se quiser, eu posso desenhar a parábola para alguns valores de
(por exemplo
) para você ver concretamente por que só
funciona. Vai dar confiança para a prova!