1. Dada a função f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^{2}-4 x+3} determina:
    a. O domínio.
    b. Os zeros da função.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 - 4x + 3}
e pede (a) o domínio de definição e (b) os zeros de f. Vamos usar os conceitos de restrição de radiciação e proibição de divisão por zero.

Passo 2

Para achar o domínio, impomos duas condições simultâneas:
  1. O radicando deve ser não negativo, ou seja x \ge 0. 2. O denominador não pode ser zero. Como
x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3),
devemos ter
x \neq 1 \quad\text{e}\quad x \neq 3.
Juntando x\ge0 com x\neq1 e x\neq3, obtemos
\text{Dom}(f) = [0,1)\,\cup\,(1,3)\,\cup\,(3,\infty).

Passo 3

Para encontrar os zeros de f, resolvemos
f(x)=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{\sqrt{x}}{x^2 - 4x + 3} = 0.
Uma fração é zero se, e somente se, o numerador é zero (e o denominador é não nulo). Assim,
\sqrt{x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0.
Verificamos que x=0 pertence ao domínio, pois não anula o denominador. Não há outras soluções, já que \sqrt{x}>0 para x>0.

Resposta

a. \text{Dom}(f) = [0,1)\,\cup\,(1,3)\,\cup\,(3,\infty).
b. O único zero é x=0.

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