1. Dada a função f(x)=\frac{x^{2}-9}{1-x^{2}}
    a. Determina o domínio da função.
    b. Determina os valores de x para os quais f(x) \geq 0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \frac{x^{2}-9}{1 - x^{2}}
e pede duas coisas: (a) o domínio de f, ou seja, todos os x para os quais a expressão faz sentido; (b) os valores de x tais que f(x)\ge0. Para isso, vamos usar dois conhecimentos principais:
  1. Para achar o domínio, identificamos onde o denominador se anula e excluímos esses pontos.
  2. Para resolver a desigualdade \frac{N(x)}{D(x)}\ge0, faremos análise de sinais de N(x) e D(x) por intervalos.

Passo 2

Determinar o domínio implica exigir que o denominador seja diferente de zero. Aqui o denominador é 1 - x^{2}, logo resolvemos
1 - x^{2} \neq 0
x^{2} \neq 1
x \neq \pm 1.
Portanto o domínio é
\mathbb{R} \setminus \{\,-1,1\}.

Passo 3

Para a desigualdade \displaystyle f(x)\ge0 escrevemos
\frac{x^{2}-9}{1 - x^{2}} \;\ge\; 0.
Chamemos N(x)=x^{2}-9 e D(x)=1 - x^{2}. Observe que
N(x)=(x-3)(x+3), \quad D(x)=1 - x^{2}=-(x-1)(x+1).
Os pontos críticos são as raízes de N(x), que são x=-3 e x=3, e as raízes de D(x), que são x=-1 e x=1 (esses últimos excluídos do domínio).

Passo 4

Vamos analisar o sinal de f(x)=N(x)/D(x) nos intervalos determinados por -\infty,-3,-1,1,3,\infty. Um teste rápido de sinal em cada intervalo dá:
  • Em (-\infty,-3): N>0, D<0 \Rightarrow f<0.
  • Em (-3,-1): N<0, D<0 \Rightarrow f>0.
  • Em (-1,1): N<0, D>0 \Rightarrow f<0.
  • Em (1,3): N<0, D<0 \Rightarrow f>0.
  • Em (3,\infty): N>0, D<0 \Rightarrow f<0.
Além disso, em x=-3 e x=3 temos N=0 e D\neq0, logo f=0 nesses pontos. Em x=\pm1 a função não está definida.

Passo 5

Para ter f(x)\ge0, precisamos de f>0 ou f=0. Pelos sinais testados e incluindo os zeros, o conjunto solução é
[-3,-1)\;\cup\;(1,3].

Resposta

a. \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{\,-1,1\}.
b. \{\,x\mid f(x)\ge0\}=[-3,-1)\cup(1,3].

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