Deve-se construir uma caixa retangular, com tampa, de um 1 m^{3} e com base quadrada. O material utilizado na caixa custa R \ 10,00$ o metro quadrado.
(a) Construa uma função que descreve o custo do Material empregado em função do lado da base.
(b) Determine as dimensões da caixa que minimizam o custo do material empregado.

Passo 1

O enunciado pede uma caixa de volume 1 m ^3 com base quadrada de lado x e altura h, incluindo tampa e fundo, e o custo do material é de R$ 10,00 por metro quadrado. Vamos usar a restrição de volume e a expressão da área da superfície para definir o custo em função de x.

Passo 2

A restrição de volume é
x^2\,h = 1
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h = \frac{1}{x^2}.
A área total da caixa com tampa e fundo é
S = 2x^2 + 4xh.
Substituindo h,
S = 2x^2 + 4x\cdot\frac{1}{x^2} = 2x^2 + \frac{4}{x}.
Como o custo por área é R$ 10,00/m ^2, a função custo é
C(x) = 10\bigl(2x^2 + \tfrac{4}{x}\bigr).

Passo 3

Para minimizar C(x), calculamos a derivada:
C'(x) = 10\Bigl(4x - 4x^{-2}\Bigr) = 40\Bigl(x - \tfrac{1}{x^2}\Bigr).
Impondo C'(x)=0 resulta
x - \frac{1}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Passo 4

Verificamos a segunda derivada:
C''(x) = 40\Bigl(1 + \tfrac{2}{x^3}\Bigr),
que em x=1 vale C''(1)=40\cdot3>0, garantindo mínimo.

Resposta

(a) C(x) = 10\Bigl(2x^2 + \tfrac{4}{x}\Bigr).
(b) As dimensões que minimizam o custo são
x = 1\text{ m}, \quad h = \frac{1}{1^2} = 1\text{ m}.

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