Dada a função
f(x)=l x^2+2 se x<0 2-x^2 se 0 <= x
ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de uma função definida por partes usando o teste da derivada primeira. O conteúdo é derivação de função por partes e análise de mudança de sinal de f′.

Passo 2

Vamos calcular a derivada em cada trecho. Para x<0 temos f(x)=x²+2, logo
f'(x)=2x

Passo 3

Para 0\le x<\sqrt{2} temos f(x)=2−x², logo
f'(x)=−2x

Passo 4

Para x\ge\sqrt{2} temos f(x)=x−\sqrt{2}, logo
f'(x)=1

Passo 5

Os pontos críticos são onde f’(x)=0 ou nos pontos de quebra (x=0 e x=√2). Da derivada vemos f’(x)=0 apenas em x=0 (nas duas primeiras expressões).

Passo 6

Agora analisamos o sinal de f′ em cada região:
Para x<0: f’(x)=2x<0, então f decresce.
Para 0<x<√2: f’(x)=−2x<0, continua decrescendo.
Para x>√2: f’(x)=1>0, f cresce.

Passo 7

Em x=0 o sinal de f′ vem negativo e continua negativo (sem mudança de sinal), então não há extremo em x=0.

Passo 8

Em x=√2 o sinal de f′ muda de negativo (antes de √2) para positivo (depois de √2), indicando um mínimo relativo.

Passo 9

Para achar o valor, usamos o ramo de x≥√2: f(√2)=√2−√2=0.

Resposta

A função tem um único extremo relativo: mínimo em (\sqrt{2},0).

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