ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de uma função definida por partes usando o teste da derivada primeira. O conteúdo é derivação de função por partes e análise de mudança de sinal de f′.
Passo 2
Vamos calcular a derivada em cada trecho. Para x<0 temos f(x)=x²+2, logo
f'(x)=2x
Passo 3
Para 0\le x<\sqrt{2} temos f(x)=2−x², logo
f'(x)=−2x
Passo 4
Para x\ge\sqrt{2} temos f(x)=x−\sqrt{2}, logo
f'(x)=1
Passo 5
Os pontos críticos são onde f’(x)=0 ou nos pontos de quebra (x=0 e x=√2). Da derivada vemos f’(x)=0 apenas em x=0 (nas duas primeiras expressões).
Passo 6
Agora analisamos o sinal de f′ em cada região:
Para x<0: f’(x)=2x<0, então f decresce.
Para 0<x<√2: f’(x)=−2x<0, continua decrescendo.
Para x>√2: f’(x)=1>0, f cresce.
Passo 7
Em x=0 o sinal de f′ vem negativo e continua negativo (sem mudança de sinal), então não há extremo em x=0.
Passo 8
Em x=√2 o sinal de f′ muda de negativo (antes de √2) para positivo (depois de √2), indicando um mínimo relativo.
Passo 9
Para achar o valor, usamos o ramo de x≥√2: f(√2)=√2−√2=0.
Resposta
A função tem um único extremo relativo: mínimo em (\sqrt{2},0).