Dada a função
f(x)=l (x+9)^2-8 se x<-7 -raiz25-(x+4)^2 se -7 <= x <= 0 (x-2)^2-7 se 0
ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;

Passo 1

Temos a função definida por
f(x)=(x+9)^2-8, & x<-7,-raiz25-(x+4)^2, & -7<= x<=0,(x-2)^2-7, & x>0
O conteúdo aqui é encontrar extremos relativos usando o teste da derivada primeira. Para isso, vamos calcular f'(x) em cada trecho e estudar o sinal.

Passo 2

No trecho x<-7:
f'(x)=2(x+9),
zerando vem 2(x+9)=0Rightarrow x=-9, que é válido em x<-7.
No trecho -7<= x<=0:
f'(x)=ddxl(-raiz25-(x+4)^2r)=x+4raiz25-(x+4)^2,
zerando dá x=-4, que está em [-7,0].
No trecho x>0:
f'(x)=2(x-2),
zerando dá x=2, válido em x>0.

Passo 3

Agora estudamos o sinal de f'(x) em torno de cada ponto crítico:
  • Em x=-9: para x<-9, f'(x)<0; para -9, f'(x)>0. Logo há mudança de negativo para positivo e x=-9 é mínimo local com
f(-9)=(0)^2-8=-8
  • Em x=-4: para -7, f'(x)<0; para -4, f'(x)>0. Há troca de sinal de - para +, logo x=-4 é mínimo local com
f(-4)=-raiz25-0=-5
  • Em x=2: para 0, f'(x)<0; para x>2, f'(x)>0. Troca de - para + indica mínimo local com
f(2)=(0)^2-7=-7

Passo 4

Agora analisamos os pontos de junção das definições:
  • Em x=-7: à esquerda (trecho 1) f'(-7.1)=2(1.9)>0, à direita (trecho 2) f'(-6.9)=( -2.9)/raiz16.59<0. Troca de + para - indica máximo local. Calculando
f(-7)=-raiz25-9=-4
  • Em x=0: à esquerda (trecho 2) f'(-0.1)=(3.9)/raiz9.79>0, à direita (trecho 3) f'(0.1)=2(-1.9)<0. Troca de + para - indica máximo local. Calculando
f(0)=-raiz25-16=-3

Resposta

Mínimos locais em:
  • x=-9, com f(-9)=-8;
  • x=-4, com f(-4)=-5;
  • x=2, com f(2)=-7.
Máximos locais em:
  • x=-7, com f(-7)=-4;
  • x=0, com f(0)=-3.

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