Dada a função
f(x)=l x^2+2 se x<0 2-x^2 se 0 <= x
determine os intervalos de crescimento;

Passo 1

O enunciado define uma função por partes e pede os intervalos em que ela é crescente; o conteúdo é monotonicidade de funções e vamos precisar usar derivadas para verificar onde f′(x)>0.

Passo 2

Para x<0 temos f(x)=x^2+2. Calculando a derivada:
f'(x)=2x

Passo 3

Para 0\le x<\sqrt{2} temos f(x)=2-x^2. Calculando a derivada:
f'(x)=-2x

Passo 4

Para x\ge\sqrt{2} temos f(x)=x-\sqrt{2}. Calculando a derivada:
f'(x)=1

Passo 5

Agora analisamos o sinal de f’(x) em cada ramo:
  • Em x<0, f’(x)=2x<0, logo f é decrescente em (-∞,0).
  • Em 0<x<\sqrt{2}, f’(x)=-2x<0, logo f é decrescente em (0,√2).
  • Em x>\sqrt{2}, f’(x)=1>0, logo f é crescente em (√2,∞).

Passo 6

Como os pontos de quebra (x=0 e x=√2) não geram mudança de tendência para crescimento além de x=√2, o único intervalo de crescimento é (√2,∞).

Resposta

(√2, ∞)

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