Dada a função
determine os intervalos de crescimento;
Passo 1
O enunciado define uma função por partes e pede os intervalos em que ela é crescente; o conteúdo é monotonicidade de funções e vamos precisar usar derivadas para verificar onde f′(x)>0.
Passo 2
Para x<0 temos f(x)=x^2+2. Calculando a derivada:
Passo 3
Para 0\le x<\sqrt{2} temos f(x)=2-x^2. Calculando a derivada:
Passo 4
Para x\ge\sqrt{2} temos f(x)=x-\sqrt{2}. Calculando a derivada:
Passo 5
Agora analisamos o sinal de f’(x) em cada ramo:
- Em x<0, f’(x)=2x<0, logo f é decrescente em (-∞,0).
- Em 0<x<\sqrt{2}, f’(x)=-2x<0, logo f é decrescente em (0,√2).
- Em x>\sqrt{2}, f’(x)=1>0, logo f é crescente em (√2,∞).
Passo 6
Como os pontos de quebra (x=0 e x=√2) não geram mudança de tendência para crescimento além de x=√2, o único intervalo de crescimento é (√2,∞).
Resposta
(√2, ∞)