Dada a função
indique o comportamento da concavidade;
Passo 1
No primeiro passo, vamos recapitular o enunciado: temos a função por partes
O que precisamos é entender o comportamento da concavidade em cada intervalo usando a segunda derivada.
Passo 2
Em seguida, calculamos a segunda derivada em cada ramo. Para x<0 temos f(x)=x^{2}+2, logo
Para 0\le x<\sqrt{2} temos f(x)=2 - x^{2}, então
Por fim, para x\ge\sqrt{2} temos f(x)=x-\sqrt{2}, cuja derivada segunda é
Passo 3
Agora, interpretamos o sinal de f’’(x) em cada intervalo: quando f’’(x)>0 o gráfico é côncavo para cima; quando f’’(x)<0 ele é côncavo para baixo; e se f’’(x)=0 a reta não tem curvatura. Assim conclui-se:
Resposta
Concavidade de f(x):
• Para x<0: f’’(x)=2>0 → côncavo para cima.
• Para 0≤x<√2: f’’(x)=-2<0 → côncavo para baixo.
• Para x≥√2: f’’(x)=0 → curva linear (sem concavidade).
• Para x<0: f’’(x)=2>0 → côncavo para cima.
• Para 0≤x<√2: f’’(x)=-2<0 → côncavo para baixo.
• Para x≥√2: f’’(x)=0 → curva linear (sem concavidade).