Dada a função
f(x)=l x^2+2 se x<0 2-x^2 se 0 <= x
indique o comportamento da concavidade;

Passo 1

No primeiro passo, vamos recapitular o enunciado: temos a função por partes
f(x)= x^2+2,&x<0, 2 - x^2,&0<= x=raiz2,
O que precisamos é entender o comportamento da concavidade em cada intervalo usando a segunda derivada.

Passo 2

Em seguida, calculamos a segunda derivada em cada ramo. Para x<0 temos f(x)=x^{2}+2, logo
f'(x)=2x,
f''(x)=2
Para 0\le x<\sqrt{2} temos f(x)=2 - x^{2}, então
f'(x)=-2x,
f''(x)=-2
Por fim, para x\ge\sqrt{2} temos f(x)=x-\sqrt{2}, cuja derivada segunda é
f''(x)=0

Passo 3

Agora, interpretamos o sinal de f’’(x) em cada intervalo: quando f’’(x)>0 o gráfico é côncavo para cima; quando f’’(x)<0 ele é côncavo para baixo; e se f’’(x)=0 a reta não tem curvatura. Assim conclui-se:

Resposta

Concavidade de f(x):
• Para x<0: f’’(x)=2>0 → côncavo para cima.
• Para 0≤x<√2: f’’(x)=-2<0 → côncavo para baixo.
• Para x≥√2: f’’(x)=0 → curva linear (sem concavidade).

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